Фізика 11 клас
З попередніх класів ви знаєте, що математичним маятником вважають точкове тіло, підвішене до нерозтяжної і невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому що: розміри кульки набагато менші за довжину нитки, цими розмірами можна нехтувати і розглядати кульку як матеріальну точку. Розтягом нитки також можна нехтувати, оскільки він дуже малий. Можна нехтувати і масою нитки порівняно з масою кульки.
Отже, з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 106). Рівняння руху математичного маятника має вигляд
Разом з цим, розглядаючи рух проекції тіла, яке рівномірно обертається по колу, можна записати
Прирівнюючи ці рівняння, отримаємо
Ця формула для визначення періоду коливань математичного маятника була виведена і перевірена на дослідах голландським фізиком К. Гюйгенсом (1629 — 1695), тому її часто називають формулою Гюйгенса.
Період коливань математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння в даному місці Землі і від довжини маятника. Період не залежить від амплітуди коливань і від маси підвішеного тягарця, що легко перевірити на дослідах з різними маятниками. Слід лише пам’ятати, що розміри тягарця мають бути малими порівняно з довжиною підвісу і що малим має бути також кут відхилення маятника від вертикалі. З наведеної залежності періоду коливань математичного маятника можна легко експериментально визначити прискорення вільного падіння. Для цього треба виміряти довжину маятника і період його коливань.
Залежність періоду коливань математичного маятника від Прискорення вільного падіння використовується для точних вимірювань прискорення вільного падіння на поверхні Землі. Річ у тому, що прискорення вільного падіння в різних точках земної поверхні на одній і тій самій географічній широті є неоднаковим і залежить, хоча й незначно, від густини порід, з яких складаються верхні шари земної кори.
Усяке тіло, що має вісь обертання, яка не проходить через центр мас, здатне здійснювати коливання. Такі тіла називають фізичними маятниками. Нехай ми маємо тіло довільної форми, закріплене на осі обертання О (мал. 107). Центр мас цього тіла — точка С. Відстань від осі обертання до центра мас позначимо а. Якщо таке тіло вивести зі стану рівноваги і відпустити, то воно здійснюватиме коливання під дією рівнодійної сили тяжіння та сили пружності, що виникає в самому тілі. У будь-який момент часу рівнодійна сил напрямлена до положення рівноваги. Отже, маємо необхідні умови для виникнення коливань, як у разі коливань тягарця на пружині та математичного маятника. Формула для визначення періоду коливань фізичного маятника за аналогією з формулою для математичного маятника матиме такий вигляд:
де т — маса фізичного маятника; g — прискорення вільного падіння; а — відстань від осі обертання до центра мас маятника.
У формулу входить величина І, що характеризує інертні властивості тіл, які обертаються. Цю величину називають моментом інерції тіла відносно осі обертання.
§ 56. Математичний і пружинний маятники
Характеристики коливального руху маятників. У § 23 ми розглядали коливальні рухи, що виходили за межі коливальних систем, — маятників. Пригадували, що коливальний рух маятників вивчався в 7 класі. Що ж залишилось поза нашої увагою? Узагальнимо й розширимо наші знання.
Пружинний маятник — це тіло масою т, закріплене на пружині, жорсткість якої k і яке коливається під дією сили пружності (мал. 266, а, с. 248).
Математичний маятник — це точкове тіло, підвішене до нерозтяжної й невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 266, б, с. 248).
Ці маятники є коливальними системами, у яких можуть відбуватися коливання. Кожна коливальна система має стан рівноваги. Для математичного маятника — це положення, у якому центр мас підвішеної кульки лежить на одній вертикалі з точкою підвісу; у горизонтального пружинного маятника — це положення, у якому пружина не деформована.
Якщо коливальну систему вивести зі стану рівноваги, виникає сила, що повертає систему в рівноважний стан. При цьому коливальне тіло не зупиняється в рівноважному стані, а продовжує свій рух за інерцією. У системі виникають вільні коливання.
Вільними (або власними) називають коливання, які виникають у результаті початкового виведення системи з положення стійкої рівноваги і здійснюються за рахунок внутрішніх сил системи, не зазнаючи впливу з боку змінних зовнішніх сил.
Мал. 266. Маятники: а — пружинний; б — математичний
Період вільних коливань пружинного маятника визначається масою коливного тіла та жорсткістю пружини
Період вільних коливань математичного маятника залежить лише від прискорення вільного падіння в даному місці Землі та від довжини маятника
Період не залежить від амплітуди коливань і від маси підвішеного тягарця, що легко перевірити на дослідах із різними маятниками. (Це ви зробите, виконуючи роботи фізичного практикуму.)
Вільні коливання горизонтального пружинного та математичного маятників (за малих кутів відхилення 3-5°) ще називають гармонічними коливаннями. У гармонічних коливаннях сили, під дією яких вони відбуваються, завжди пропорційні до зміщення і спрямовані протилежно до нього (до положення рівноваги). Для пружинного маятника — це сила пружності, для математичного — рівнодійна сили всесвітнього тяжіння та сили натягу нитки.
Перетворення енергії під час коливального руху маятників. Розглядаючи рухи маятників, вважатимемо, що тертя в обох коливальних системах відсутнє або настільки мале, що ним можна знехтувати. Така система є ізольованою і для неї виконується закон збереження механічної енергії.
У початковий момент (тіло відведено у крайнє ліве положення) коливальна система має максимальну потенціальну енергію. Для пружинного
Рухаючись до положення рівноваги, система зменшує потенціальну енергію, але при цьому збільшується її кінетична енергія, яка набуває максимального значення в положенні рівноваги, де швидкість коливного тіла є максимальною. Для обох маятників Ек.max = mv 2 max/2.
Проходячи положення рівноваги, тіло зменшує кінетичну енергію й, зупиняючись у крайньому правому положенні, має максимальну потенціальну енергію. Кінетична енергія при цьому дорівнює нулю.
Таким чином, кінетична енергія коливальної системи матиме максимальні значення в моменти проходження тілом положень рівноваги, а потенціальна — у моменти перебування тіла в точках найбільших відхилень від положення рівноваги. У довільний момент часу сума потенціальної і кінетичної енергії є сталою величиною й дорівнює повній енергії коливань.
На малюнку 267 зображено графік зміни потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи за один період коливань.
Мал. 267. Графік зміни потенціальної та кінетичної енергій коливальної системи за один період коливань
Використання математичних маятників. Оскільки будь-який маятник має фіксований період коливань, їх використовують для регулювання ходу годинників. Маятники використовують і в геологічних розвідках. У місцях, де залягають породи металевих руд, значення g аномально велике. Точні вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника дають змогу виявити такі родовища.
За допомогою математичного маятника можна виявити добове обертання Землі. Цей дослід у 1851 р. в Парижі виконав Ж. Фуко з маятником завдовжки 67 м. Тому маятники, за допомогою яких можна продемонструвати добове обертання Землі навколо своєї осі, називають маятниками Фуко (мал. 268).
Зміст досліду полягає в тому, що площина коливань математичного маятника залишається незмінною відносно інерціальної системи відліку. Тоді відносно неінерціальної системи відліку, пов’язаної із Землею, площина коливань маятника має повертатись.
Пізніше цей дослід повторювали в різних місцях. Очевидно, що ефект повороту площини коливань маятника залежить від широти місця проведення досліду, він найбільш виражений на земних полюсах і відсутній на екваторі.
Мал. 268. Маятники Фуко
ФОРМУЄМО КОМПЕТЕНТНІСТЬ
Я поміркую й зможу пояснити
- 1. Яка коливальна система називається математичним маятником? Пружинним маятником?
- 2. За яких умов коливання математичного маятника будуть гармонічними?
- 3. Від чого залежить період коливань пружинного маятника? Математичного маятника?
- 4. Розкажіть про перетворення енергії під час гармонічних коливань. Скільки разів протягом періоду гармонічного коливання кінетична енергія системи дорівнює її потенціальній енергії в той самий момент часу?
- 5. Як зміниться хід годинника з маятником на металевому стержні: а) з підвищенням температури; б) при піднятті на гору; в) при переміщенні від полюса до екватора?
Вчимося розв’язувати задачі
Задача. Тягар масою 2 кг здійснює горизонтальні коливання на пружині. Амплітуда коливань 5 см, період коливань 5 с. Обчисліть максимальні значення кінетичної та потенціальної енергії, а також швидкість руху тягарця в момент проходження положення рівноваги.
За законом збереження енергії максимальні значення кінетичної й потенціальної енергій рівні між собою. Ек.max ≈ 4 • 10 -3 Дж.
У момент проходження положення рівноваги швидкість руху тягарця максимальна. Її визначаємо з формули