Що таке інтеграл? Інтеграли з докладним рішенням. Таблиця інтегралів

Слово “інтеграл” походить від латинського integralis – цілісний. Цю назву запропонував у 17 ст. учень великого Лейбніца (і також видатний математик) І. Бернуллі. А що таке інтеграл у сучасному розумінні? Нижче ми постараємося дати всебічну відповідь на це питання.

• Історичні передумови виникнення поняття інтеграла
• Як виникло обчислення інтегралів і похідних?
• Площа під кривою лінією
• Отже, як же визначити її точну величину? Спробуємо розкрити процес її обчислення через інтеграл докладно, з самих азів.
• Риманова сума
• Перехід від Риманової суми до певного інтеграла
• Геометричне та механічне витлумачення певного інтеграла
• Диференціал певного інтеграла
• Фундаментальне співвідношення інтегрального обчислення
• Основне правило інтегрування
• Таблиці інтегралів
• Як же обчислити певний інтеграл
• Розгляньмо тепер інтеграли з докладним рішенням, що використовує в першому прикладі властивість аддитивності, а в другому – підстановку проміжної змінної інтегрування. Обчислимо певний інтеграл від дробово-раціональної функції:
• Про незбожні інтеграли

Історичні передумови виникнення поняття інтеграла

На початку 17 ст. в розгляді провідних вчених знаходилося велике число фізичних (насамперед механічних) завдань, в яких потрібно було досліджувати залежності одних величин від інших. Найнаочнішими і нагальними проблемами були визначення миттєвої швидкості нерівномірного руху тіла в будь-який момент часу і зворотне це завдання знаходження величини шляху, пройденого тілом за певний проміжок часу при такому русі. Сьогодні ми вже знаємо, що таке інтеграл від швидкості руху – це і є пройдений шлях. Але розуміння того, як його обчислювати, знаючи швидкість в кожен момент часу, з ‘явилося не відразу.

Спочатку з розгляду таких залежностей фізичних величин, наприклад, шляху від швидкості, було сформовано математичне поняття функції y = f (x). Дослідження властивостей різних функцій призвело до зародження математичного аналізу. Вчені активно шукали способи вивчення властивостей різних функцій.

Як виникло обчислення інтегралів і похідних?

Після створення Декартом основ аналітичної геометрії і появи можливості зображати функціональні залежності графічно в осях декартової системи координат, перед дослідниками постали два великі нові завдання: як провести дотичну до кривої лінії в будь-якій її точці і як знайти площу фігури, обмеженої зверху цією кривою і прямими, паралельними осям координат. Несподіваним чином виявилося, що перша з них еквівалентна знаходженню миттєвої швидкості, а друга – знаходженню пройденого шляху. Адже він при нерівномірному русі зображувався в декартових осях координат “відстань” і “час” деякою кривою лінією.

Генієм Лейбніца і Ньютона в середині 17 ст. були створені методи, що дозволили вирішувати обидві ці завдання. Виявилося, що для проведення дотичної до кривої в точці потрібно знайти величину так званої похідної від функції, що описує цю криву, в розглянутої її точці, і ця величина виявляється рівною швидкості зміни функції, тобто стосовно залежності “шлях від швидкості” власне миттєвою швидкістю тіла.

Для знаходження площі, обмеженої кривою лінією, слід було обчислити певний інтеграл, який давав її точну величину. Похідна та інтеграл – основні поняття диференційного та інтегрального обчислення, що є базисом сучасного матаналізу – найважливішого розділу вищої математики.

Площа під кривою лінією

Отже, як же визначити її точну величину? Спробуємо розкрити процес її обчислення через інтеграл докладно, з самих азів.

Нехай f є безперервною на відрізку [ab] функцією. Розгляньмо криву = f (x), зображену на зображенні нижче. Як знайти площу області, обмежену кривою), віссю х, і лініями х = а і х = b? Тобто площа заштрихованої фігури на малюнку.

Найпростіший випадок, коли f є постійною функцією; тобто, крива є горизонтальною лінією f (X) = k, де k постійна і k ^ 0, як показано на малюнку нижче.

У цьому випадку область під кривою – лише прямокутник з висотою k і шириною (b – a), так що площа визначається як: k · (b – а).

Області деяких інших простих фігур, таких як трикутник, трапеція і напівкружність, даються формулами з ^ метрії.

Площа під будь-якою безперервною кривою = f (x) дається певним інтегралом, який записується так само, як звичайний інтеграл.

Риманова сума

Перш ніж зануритися в детальну відповідь на питання, що таке інтеграл, виділимо деякі основні ідеї.

По-перше, область під кривою поділяється на деяке число n вертикальних смуг досить малої ширини ^ x. Далі кожна вертикальна смуга замінюється вертикальним прямокутником заввишки f (x), шириною ^ x, і площею f (x) dx. Наступним кроком є формування суми площ усіх цих прямокутників, званої Римановою сумою (дивіться малюнки нижче).

Малюючи наші прямокутники шириною ^ x, ми можемо брати їх висоту, що дорівнює значенню функції на лівому краю кожної смужки, тобто на кривій будуть лежати крайні ліві точки їх верхніх коротких сторін шириною ^ x. При цьому на ділянці, де функція зростає, і її крива є випуклою, всі прямокутники виявляються нижче цієї кривої, тобто їх сума буде завідомо меншою точної величини площі під кривою на цій ділянці (див. малюнок нижче). Такий спосіб апроксимації називається лівостороннім.

У принципі, можна намалювати апроксимуючі прямокутники таким чином, щоб на кривій лежали крайні праві точки їх верхніх коротких сторін шириною ^ x. Тоді вони будуть вище кривої, і наближення площі на цій ділянці виявиться більше її точної величини, як показано на малюнку нижче. Цей спосіб носить назву правостороннього.

Але ми можемо також взяти висоту кожного з апроксимуючих прямокутників, що дорівнює просто деякому значенню функції в довільній точці x * i всередині відповідної смужки. При цьому ми навіть можемо не брати однакову ширину всіх смужок.

Перехід від Риманової суми до певного інтеграла

У вищій математиці доводиться теорема, яка свідчить, що якщо при необмеженому зростанні числа n апроксимуючих прямокутників найбільша їх ширина прагне до нуля, то Риманова сума An прагне до деякої межі A. Число A – одне і те ж при будь-якому способі освіти апроксимуючих прямокутників і при будь-якому

Наочне пояснення теореми дає малюнок нижче.

З нього видно, що, чим вже прямокутники, тим ближче площа ступінчастої фігури до площі під кривою. Серед прямокутників n – ширина xi ^ 0, а межа A суми An – чисельна. Ця межа і є певний інтеграл функції f (х):

Символ інтеграла, що являє собою видозмінену курсивну літеру S, був введений Лейбніцем. Ставити зверху і знизу позначення інтеграла його межі запропонував Ж. Б. Фур ‘є. При цьому чітко вказується початкове та кінцеве значення x.

Геометричне та механічне витлумачення певного інтеграла

Спробуємо дати розгорнуту відповідь на питання про те, що таке інтеграл? Розгляньмо інтеграл на відрізку [a, b] від додатної всередині нього функції f (x), причому вважаємо, що верхня межа більша за нижню a < b. Як ми вже бачили вище, в цьому випадку площа, що знаходиться між графіком y = f (x) і віссю абсцис в межах відрізка [a, b], чисельно дорівнює інтегралу від a до b.

Якщо ординати функції f (x) негативні всередині [a, b], то абсолютне значення інтеграла дорівнює площі між віссю абсцис і графіком y = f (x), сам же інтеграл негативний.

У разі ж одноразового або неодноразового перетину графіком y = f (x) осі абсцис на відрізку [a, b], як показано на малюнку нижче, для обчислення інтеграла потрібно визначити різницю, в якій зменшуване буде дорівнювати сумарній площі ділянок, що знаходяться над віссю абсцис, а віднімається – сумарній площі ділянок, що знаходиться

Так, для функції, показаної на малюнку вище, певний інтеграл від a до b дорівнює (S1 + S3) – (S2 + S4).

Механічне витлумачення певного інтеграла тісно пов ‘язане з геометричним. Повернемося до розділу “Риманова сума” і уявімо, що наведений на малюнках графік виражає функцію швидкості v = f (t) при нерівномірному русі матеріальної точки (вісь абсцис є віссю часу). Тоді площа будь-якого апроксимуючого прямокутника шириною ^ t, який ми будували при формуванні Риманової суми, буде виражати наближено шлях точки за час.

Повна сума площ прямокутників на відрізку від t1 = a до t2 = b виразить наближено шлях s за час t2 – t1, а межа її, тобто інтеграл (певний) від a до b функції v = f (t) по dt дасть точне значення шляху s.

Диференціал певного інтеграла

Якщо повернутися до його позначення, то цілком можна припустити, що a = const, а b є конкретним значенням деякої незалежної змінної x. Тоді певний інтеграл з верхньою межею x̃ з конкретного числа перетворюється на функцію від x̃. Такий інтеграл дорівнює площі фігури під кривою, позначеній точками aABb на малюнку нижче.

При нерухомій лінії aA і рухомій Bb ця площа стає функцією f (x̃), причому прирощення Δx̃ як і раніше відкладаються вздовж осі х, а прирощенням функції f (x̃) є прирощення площі під кривою.

Припустимо, що ми дали змінній x̃ = b деяке мале прирощення Δx̃. Тоді прирощення площі фігури ABb складається з площі прямокутника (заштрихований на малюнку) Bb∙Δx̃ і площі фігури BDC під кривою. Площа прямокутника дорівнює Bb∙Δx̃ = f (x̃) Δx̃, тобто вона є лінійною функцією прирощення незалежної змінної. Площа ж фігури BDC завідомо менша, ніж площа прямокутника BDCK = Δx̃∙Δy, і при прагненні Δx̃ ^ 0 вона зменшується ще швидше за нього. Отже, f (x̃) Δx̃ = f (x̃) dx̃ є диференціал змінної площі aABb, тобто диференціал певного інтеграла

Звідси можна зробити висновок, що обчислення інтегралів полягає в розшуку функцій за заданими виразами їх диференціалів. Інтегральне обчислення якраз і являє собою систему способів розшуку таких функцій за відомими їх диференціалами.

Фундаментальне співвідношення інтегрального обчислення

Воно пов ‘язує відносини між диференціюванням та інтегруванням і показує, що існує операція, зворотна диференціюванню функції, – її інтегрування. Воно також показує, що якщо будь-яка функція f (x) безперервна, то застосуванням до неї цієї математичної операції можна знайти цілий ансамбль (сукупність, безліч) функцій, першоподібних для неї (або інакше, знайти невизначений інтеграл від неї).

Нехай функція F (x) є визначенням результату інтегрування функції f (x). Відповідність між цими двома функціями в результаті інтегрування другої з них позначається наступним чином:

Як видно, при символі інтеграла відсутні межі інтегрування. Це означає, що з певного він перетворений на невизначений інтеграл. Слово “невизначений” означає, що результатом дії інтегрування в даному випадку є не одна, а безліч функцій. Адже, крім власне функції F (x), останнім виразам задовольняє і будь-яка функція F (x) + C, де С = const. При цьому мається на увазі, що постійний член в ансамблі першоподібних можна задавати по свавіллю.

Слід підкреслити, що, якщо інтеграл, визначений від функції, є числом, то невизначений є функція, точніше, їх безліч. Термін “інтегрування” застосовується для визначення дії пошуку обох видів інтегралів.

Основне правило інтегрування

Воно являє собою повну протилежність відповідному правилу для диференціювання. Як же беруться невизначені інтеграли? Приклади цієї процедури ми розглянемо на конкретних функціях.

Давайте подивимося на степеневу функцію загального вигляду:

Після того як ми зробили це з кожним доданком у виразі інтегрованої функції (якщо їх кілька), ми додаємо постійну в кінці. Нагадаємо, що взяття похідної від постійної величини знищує її, тому взяття інтеграла від будь-якої функції дасть нам відновлення цієї постійної. Ми позначаємо її С, оскільки постійна невідома – це може бути будь-яке число! Тому ми можемо мати нескінченно багато виразів для невизначеного інтеграла.

Розгляньмо прості невизначені інтеграли, приклади взяття яких показані нижче.

Нехай потрібно знайти інтеграл від функції:

Почнемо з першого доданку. Ми дивимося на показник ступеня 2 і збільшуємо його на 1, потім ділимо перший член на результуючий показник 3. Отримуємо: 4(x3) / 3.

Потім ми дивимося на наступний член і робимо те ж саме. Так як він має показник ступеня 1, то результуючий показник буде 2. Таким чином, ми розділимо це доданок на 2: 2(x2) / 2 = x2.

Останній член має множник х, але ми просто не бачимо його. Ми можемо уявити собі останнє доданок як (-3×0). Це еквівалентно (-3) ^ (1). Якщо ми використовуємо правило інтегрування, ми додамо 1 до показника, щоб підняти його до першого ступеня, а потім розділимо останній член на 1. Отримаємо 3x.

Це правило інтегрування працює для всіх значень n, крім n = – 1 (тому що ми не можемо розділити на 0).

Ми розглянули найпростіший приклад перебування інтеграла. Взагалі ж рішення інтегралів є справою непростою, і в ньому гарною підмогою є вже накопичений у математиці досвід.

Таблиці інтегралів

У розділі вище ми бачили, що з кожної формули диференціювання виходить відповідна формула інтегрування. Тому всі можливі їх варіанти вже давно отримані і зведені у відповідні таблиці. Нижченаведена таблиця інтегралів містить формули інтегрування основних алгебраїчних функцій. Ці формули потрібно знати на пам ‘ять, завчаючи їх поступово, у міру їх закріплення вправами.

Ще одна таблиця інтегралів містить основні тригонометричні функції:

Як же обчислити певний інтеграл

Виявляється, зробити це, вміючи інтегрувати, тобто знаходити невизначені інтеграли, дуже просто. І допомагає в цьому формула засновників інтегро-диференційного обчислення Ньютона і Лейбніца

Згідно з нею, обчислення шуканого інтеграла складається на першому етапі в знаходженні невизначеного, подальшому обчисленні значення знайденої першоподібної F (x) при підстановці x, рівного спочатку верхній межі, потім нижньому і, нарешті, у визначенні різниці цих значень. При цьому константу С можна не записувати. оскільки вона пропадає при виконанні віднімання.

Розгляньмо деякі інтеграли з докладним рішенням.

Знайдемо площу ділянки під однією напівхвилинною синусоїдою.

Обчислюємо заштриховану площу під гіперболою.

Розгляньмо тепер інтеграли з докладним рішенням, що використовує в першому прикладі властивість аддитивності, а в другому – підстановку проміжної змінної інтегрування. Обчислимо певний інтеграл від дробово-раціональної функції:

y = (1 + t )/t3 від t = 1 до t = 2.

Тепер покажемо, як можна спростити взяття інтеграла введенням проміжної змінної. Нехай потрібно обчислити інтеграл від (x + 1) 2.

Про незбожні інтеграли

Ми говорили про певний інтеграл для кінцевого проміжку [a, b] від безперервної на ньому функції f (x). Але ряд конкретних завдань призводить до необхідності розширити поняття інтеграла на випадок, коли межі (один або обидва) рівні нескінченності, або при розривній функції. Наприклад, при обчисленні площ під кривими, які асимптотично наближаються до осей координат. Для поширення поняття інтеграла на цей випадок, крім граничного переходу при обчисленні Риманової суми апроксимуючих прямокутників, виконується ще один. При такому дворазовому переході до межі виходить невласний інтеграл. На протилежність йому всі інтеграли, про які говорилося вище, називаються власними.

11.8: Потрійні інтеграли в циліндричних та сферичних координатах

Ми зіткнулися з двома різними системами координат \(\mathbb^2\) – прямокутної та полярної систем координат – і побачили, як в певних ситуаціях полярні координати утворюють зручну альтернативу. Аналогічним чином, є дві додаткові природні системи координат в \(\mathbb^3\text<.>\) Враховуючи, що ми вже знайомі з декартовою системою координат для \(\mathbb^3\text\) наступного дослідження циліндричної та сферичної систем координат (кожна з яких будується на полярних координатах в \(\mathbb^2\) ). Нижче ми побачимо, як конвертувати між різними системами координат, як оцінювати потрійні інтеграли, використовуючи їх, та деякі ситуації, в яких ці інші системи координат виявляються вигідними.

Попередній перегляд Активність 11.8.1

У наступних питаннях ми досліджуємо дві нові системи координат, які є предметом цього розділу: циліндричні та сферичні координати. Наша мета – розглянути деякі приклади того, як конвертувати з прямокутних координат в кожну з цих систем, і навпаки. Трикутники і тригонометрія виявляються особливо важливими.

1. Циліндричні координати точки в \(\mathbb^3\) задаються \((r,\theta,z)\) де \(r\) і \(\theta\) є полярними координатами точки \((x, y)\) і \(z\) є тією ж \(z\) координатою, що і в декартових координатах. Ілюстрація наведена зліва на малюнку 11.8.1.
   1. Знайдіть циліндричні координати точки, декартові координати якої є \((-1, \sqrt, 3)\text\) Намалюйте позначену картинку, що ілюструє всі координати.
   2. Знайдіть декартові координати точки, циліндричні координати якої є \(\left(2, \frac<5\pi>, 1\right)\text\) Намалюйте позначену картинку, що ілюструє всі координати.
   1. Яка відстань від початку \(P\) до початку? Ваш результат – це значення \(\rho\) в сферичних координатах \(P\text\)
   2. Визначте точку, яка є проекцією \(P\) на \(xy\) -площину. Потім використовуйте цю проекцію, щоб знайти значення \(\theta\) в полярних координатах проекції \(P\) , що лежить у площині. Ваш результат також є значенням \(\theta\) для сферичних координат точки.
   3. Виходячи з ілюстрації на малюнку 11.8.1, як \(\phi\) визначається кут і \(\rho\) \(z\) координата \(P\text\) Використовуйте правильно підібраний прямокутний трикутник, щоб знайти значення \(\phi\text\) якого є кінцевою складовою в сферичних координатах \(P\text\) Намалюйте ретельно позначений малюнок, який наочно ілюструє значення \(\rho\text\) \(\theta\text\) і \(\phi\) в цьому прикладі, разом з оригінальними прямокутними координатами \(P\text\)
   4. На основі ваших відповідей на i., ii., і iii., якщо ми задані декартові координати \((x,y,z)\) точки, \(Q\text\) як значення \(\rho\text\) \(\theta\text\) і \(\phi\) в сферичних координатах \(Q\) визначаються \(x\text\) \(y\text\) і \(z\text\)

   11.8.1 Циліндричні координати

   Як ми вже зазначали в Preview Activity 11.8.1, циліндричні координати точки є \((r,\theta,z)\text\) де \(r\) і \(\theta\) є полярними координатами точки \((x, y)\text\) і \(z\) є тією ж \(z\) координатою, що і в декартових координатах. Загальна ситуація ілюструється на малюнку 11.8.1.

   Оскільки ми вже знаємо, як перетворити між прямокутними та полярними координатами в площині, а \(z\) координата ідентична як у декартових, так і в циліндричних координатах, рівняння перетворення між двома системами \(\mathbb^3\) є по суті тими, які ми знайшли для полярних координат.

   Перетворення між декартовими та циліндричними координатами

   • Якщо задані декартові координати \((x,y,z)\) точки, \(P\text\) то циліндричні координати \((r,\theta,z)\) \(P\) задовольняють \[ x = r \cos(\theta) \ \ \ \ \ y = r \sin(\theta) \ \ \ \ \ \text < and >\ \ \ \ \ z = z. \nonumber \]
   • Якщо задано циліндричні координати \((r,\theta,z)\) точки, \(P\text\) то декартові координати \((x,y,z)\) \(P\) задовольняють

   Так само, як і з прямокутними координатами, де ми зазвичай пишемо \(z\) як функцію \(x\) і \(y\) для побудови отриманої поверхні, в циліндричних координатах, ми часто виражаємо \(z\) як функцію \(r\) і \(\theta\text<.>\) У наступній діяльності ми досліджуємо кілька основних рівнянь в циліндричних координатах і відповідній поверхні кожен генерує.

   Активність 11.8.2

   У цій діяльності ми графуємо деякі поверхні, використовуючи циліндричні координати. Щоб поліпшити свою інтуїцію і перевірити своє розуміння, слід спочатку подумати про те, як повинен виглядати кожен графік, перш ніж будувати його за допомогою відповідної технології.

   1. Яка знайома поверхня описується точками в циліндричних координатах з \(r=2\text\) \(0 \leq \theta \leq 2\pi\text\) і \(0 \leq z \leq 2\text\) Як цей приклад припускає, що ми називаємо ці координати циліндричними координатами? Як змінюється ваша відповідь, якщо ми \(\theta\) обмежимося \(0 \leq \theta \leq \pi\text\)
   2. Яка знайома поверхня описується точками в циліндричних координатах з \(\theta=2\text\) \(0 \leq r \leq 2\text\) і \(0 \leq z \leq 2\text\)
   3. Яка знайома поверхня описується точками в циліндричних координатах з \(z=2\text\) \(0 \leq \theta \leq 2\pi\text\) і \(0 \leq r \leq 2\text\)
   4. Побудувати графік циліндричного рівняння \(z=r\text\) де \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) і \(0 \leq r \leq 2\text\) Які знайомі результати поверхні?
   5. Побудуйте графік циліндричного рівняння \(z= \theta\) для Як \(0 \leq \theta \leq 4 \pi\text\) виглядає ця поверхня?

   Як випливає з назви та активності 11.8.2, циліндричні координати корисні для опису поверхонь, які мають циліндричну природу.

   11.8.2 Потрійні інтеграли в циліндричних координатах

   Для оцінки потрійного інтеграла \(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) як ітераційного інтеграла в декартових координатах ми використовуємо той факт, що об’ємний елемент \(dV\) дорівнює \(dz \, dy \, dx\) (що відповідає об’єму невеликого ящика). Щоб оцінити потрійний інтеграл в циліндричних координатах, ми аналогічно повинні розуміти об’ємний елемент \(dV\) в циліндричних координатах.

   Активність 11.8.3

   Зображення циліндричної коробки, \(B = \,\) наведено на малюнку 11.8.2. Нехай \(\Delta r = r_2-r_1\text\) \(\Delta \theta = \theta_2 – \theta_1\text\) і \(\Delta z = z_2-z_1\text<.>\) хочемо визначити обсяг \(B\) в \(\Delta V\) перерахунку \(\Delta r\text\) \(\Delta \theta\text\) \(\Delta z\text\) \(r\text\) \(\theta\text\) і \(z\text<.>\)

   1. Відповідним чином \(\Delta r\text\) \(\Delta \theta\text\) позначте і \(\Delta z\) на малюнку 11.8.2.
   2. \(\Delta A\) Дозволяти площа проекції коробки, \(B\text\) на \(xy\) -площину, яка затінена синім кольором на малюнку 11.8.2. Нагадаємо, що ми раніше визначали площу \(\Delta A\) в полярних координатах \(\Delta \theta\text\) в терміні \(r\text\) \(\Delta r\text\) і У світлі того, що ми знаємо \(\Delta A\) і що \(z\) це стандартна \(z\) координата з декартових координат, який обсяг \(\Delta V\) в циліндричних координати?

   Діяльність 11.8.3 демонструє, що об’ємний елемент \(dV\) у циліндричних координатах задається \(dV = r \, dz \, dr \, d\theta\text\) і, отже, наступне правило має загалом.

   Потрійні інтеграли в циліндричних координатах

   Задано неперервну функцію \(f = f(x,y,z)\) над областю \(S\) в \(\mathbb^3\text\)

   \[ \iiint_S f(x,y,z) \, dV = \iiint_S f(r\cos(\theta), r\sin(\theta), z) \, r \, dz \, dr \, d\theta. \nonumber \]

   Останній вираз є ітераційним інтегралом в циліндричних координатах.

   Звичайно, для виконання завдання написання ітераційного інтеграла в циліндричних координатах нам потрібно визначити межі трьох інтегралів: \(\theta\text\) \(r\text\) і \(z\text<.>\) в наступній діяльності ми досліджуємо, як це зробити в декількох ситуаціях, коли циліндричні координати є природними і вигідний.

   Активність 11.8.4

   У цій діяльності ми працюємо з потрійними інтегралами в циліндричних координатах.

   1. \(S\) Дозволяти тверде тіло обмежене вище графіком \(z = x^2+y^2\) і нижче \(z=0\) на одиничному диску в \(xy\) -площині.
      1. Проекцією твердого тіла \(S\) на \(xy\) -площину є диск. Опишіть цей диск за допомогою полярних координат.
      2. Тепер опишіть поверхні, що обмежують тіло, за \(S\) допомогою циліндричних координат.
      3. Визначте ітераційний потрійний інтегральний вираз в циліндричних координатах, що дає обсяг \(S\text\) Вам не потрібно оцінювати цей інтеграл.

      11.8.3 Сферичні координати

      Як ми бачили в Preview Activity 11.8.1, сферичні координати точки в 3-просторі мають вигляд, \((\rho, \theta, \phi)\text\) де \(\rho\) відстань від точки до початку, \(\theta\) має те ж значення, що і в полярних координатах, і \(\phi\) є кутом між позитивною \(z\) віссю і вектор від початку до точки. Загальна ситуація проілюстрована праворуч на малюнку 11.8.1.

      Малюнок 11.8.5. Перетворення від сферичних до декартових координат.

      У прикладі попереднього перегляду Activity 11.8.1 та рис. 11.8.5 пропонується перетворення між декартовими та сферичними координатами.

      Перекриття між декартовими та сферичними координатами

      • Якщо задано декартові координати \((x,y,z)\) точки, \(P\text\) то сферичні координати \((\rho,\theta,\phi)\) \(P\) задовольняють

      \[ \rho = \sqrt \ \ \ \ \ \tan(\theta) = \frac \ \ \ \ \ \text < and >\ \ \ \ \ \cos(\phi) = \frac, \nonumber \]

      \[ x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \ \ \ \ \ y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta) \ \ \ \ \ \text < and >\ \ \ \ \ z = \rho \cos(\phi). \nonumber \]

      Коли справа доходить до мислення про конкретні поверхні в сферичних координатах, подібно до нашої роботи з циліндричними та декартовими координатами, ми зазвичай пишемо \(\rho\) як функція, \(\theta\) і \(\phi\text\) це природний аналог полярних координат, де ми часто думаємо про нашу відстань від Походження в площині як функція \(\theta\text<.>\) У сферичних координатах, ми також часто розглядаємо \(\rho\) як функцію \(\theta\) і, \(\phi\text\) таким чином, переглядаючи відстань від початку як функцію двох ключових кутів.

      У наступній діяльності ми досліджуємо кілька основних рівнянь у сферичних координатах та поверхнях, які вони генерують.

      Активність 11.8.5

      У цій діяльності ми графуємо деякі поверхні, використовуючи сферичні координати. Щоб поліпшити свою інтуїцію і перевірити своє розуміння, слід спочатку подумати про те, як повинен виглядати кожен графік, перш ніж будувати його за допомогою відповідної технології.

      1. Яка знайома поверхня описується точками в сферичних координатах з \(\rho = 1\text\) \(0 \leq \theta \leq 2\pi\text\) і \(0 \leq \phi \leq \pi\text\) Як цей конкретний приклад демонструє причину назви цієї системи координат? Що робити, якщо ми \(\phi\) обмежимося \(0 \leq \phi \leq \frac<\pi>\text\)
      2. Яка знайома поверхня описується точками в сферичних координатах з \(\phi = \frac<\pi>\text\) \(0 \leq \rho \leq 1\text\) і \(0 \leq \theta \leq 2\pi\text\)
      3. Яка знайома форма описується точками в сферичних координатах з \(\theta = \frac<\pi>\text\) \(0 \leq \rho \leq 1\text\) і \(0 \leq \phi \leq \pi\text\)
      4. Побудуйте графік \(\rho = \theta\text\) for \(0 \leq \phi \leq \pi\) і \(0 \leq \theta \leq 2 \pi\text\) Як з’являється отримана поверхня?

      Як вказує назва та активність 11.8.5, сферичні координати особливо корисні для опису поверхонь, що носять сферичний характер; вони також зручні для роботи з певними конічними поверхнями.

      11.8.4 Потрійні інтеграли в сферичних координатах

      Як і у випадку з прямокутними та циліндричними координатами, потрійний інтеграл \(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) у сферичних координатах може бути оцінений як ітераційний інтеграл, як тільки ми зрозуміємо об’ємний елемент \(dV\text<.>\)

      Активність 11.8.6

      Щоб знайти об’ємний елемент \(dV\) в сферичних координатах, нам потрібно зрозуміти, як визначити обсяг сферичної коробки виду \(\rho_1 \leq \rho \leq \rho_2\) (з \(\Delta \rho = \rho_2-\rho_1)\text\) \(\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2\) (з \(\Delta \phi = \phi_2-\phi_1\) ), і \(\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2\) (з \(\Delta \theta = \theta_2-\theta_1\) ). Ілюстрація такого ящика наведена зліва на малюнку 11.8.6. Ця сферична коробка трохи складніше, ніж циліндрична коробка, з якою ми стикалися раніше. У такій ситуації простіше наблизити обсяг, \(\Delta V\) ніж обчислити його безпосередньо. Тут ми можемо наблизити \(\Delta V\) обсяг цієї сферичної коробки з об’ємом декартової коробки, сторони якої мають довжини сторін цієї сферичної коробки. Іншими словами,

      де \(|\overset|\) позначає довжину дуги окружності від \(P\) до \(R\text<.>\)

      1. Яка довжина \(|PS|\) в перерахунку \(\rho\text\)
      2. Яка довжина дуги \(\overset\text\) (Підказка: Дуга \(\overset\) – це дуга кола радіуса, \(\rho_2\text\) а довжина дуги по колу – добуток вимірювання кута (в радіанах) і радіуса кола.)
      3. Яка довжина дуги \(\overset\text\) (Підказка: Дуга \(\overset\) лежить на горизонтальному колі, як показано праворуч на малюнку 11.8.6. Який радіус цього кола?)
      4. Використовуйте свою роботу в (a), (b) та (c), щоб визначити наближення для \(\Delta V\) сферичних координат.

      Відпускаючи \(\Delta \rho\text\) \(\Delta \theta\text\) і \(\Delta \phi\) перейдіть до 0, з кінцевого результату в Activity 11.8.6 випливає, що \(dV = \rho^2 \, \sin(\phi) \, d\rho \, d\theta \, d\phi \) в сферичних координатах, і таким чином дозволяє нам викласти наступне загальне правило.

      Потрійні інтеграли в сферичних координатах

      Задана неперервна функція \(f = f(x,y,z)\) над областю \(S\) в \(\mathbb^3\text\) потрійному \(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) інтегралі перетворюється на інтеграл

      \[ \iiint_S f(\rho\sin(\phi)\cos(\theta), \rho \sin(\phi) \sin(\theta), \rho \cos(\phi)) \, \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\theta \, d\phi \nonumber \]

      Останній вираз є ітераційним інтегралом в сферичних координатах.

      Нарешті, для того, щоб насправді оцінити ітераційний інтеграл у сферичних координатах, ми, звичайно, повинні визначити межі інтеграції в \(\phi\text\) \(\theta\text\) і \(\rho\text<.>\) Процес подібний до нашої попередньої роботи в інших двох системах координат.

      Активність 11.8.7

      Ми можемо використовувати сферичні координати, щоб легше зрозуміти деякі природні геометричні об’єкти.

      1. Нагадаємо, що сфера радіуса \(a\) має сферичне рівняння, \(\rho = a\text\) встановлюють і оцінюють ітераційний інтеграл в сферичних координатах для визначення обсягу сфери радіуса. \(a\text\)
      2. Налаштуйте, але не оцінюйте, ітераційний інтегральний вираз в сферичних координатах, значення якого – маса твердого тіла, отриманого шляхом видалення конуса \(\phi=\frac<\pi>\) зі сфери, \(\rho = 2\) якщо щільність \(\delta\) в точці \((x,y,z)\) є \(\delta(x,y,z) = \sqrt\text\) Ілюстрацією твердого тіла показана на малюнку 11.8.7 .

      11.8.5 Резюме

      • Циліндричні координати точки \(P\) , \((r,\theta,z)\) де \(r\) відстань від початку до проекції \(P\) на \(xy\) -площину, \(\theta\) це кут, який проекція \(P\) на \(xy\) площину робить з позитивною \(x\) -віссю, і \(z\) вертикальна відстань від \(P\) до проекції \(P\) на \(xy\) -площину. Коли \(P\) має прямокутні координати \((x,y,z)\text\) , випливає, що його циліндричні координати задаються

      \[ \rho^2 = x^2 + y^2 + z^2, \ \ \ \ \ \tan(\theta) = \frac, \ \ \ \ \ \cos(\phi) = \frac. \nonumber \]

      З огляду на точку \(P\) в сферичних координатах \((\rho, \phi, \theta)\text<,>\) її прямокутні координати

      \[ x = \rho \sin(\phi) \cos(\theta), \ \ \ \ \ y = \rho \sin(\phi) \sin(\theta), \ \ \ \ \ z = \rho \cos(\phi). \nonumber \]

      \[ \iiint_S f(\rho\sin(\phi)\cos(\theta), \rho \sin(\phi) \sin(\theta), \rho \cos(\phi)) \, \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\theta \, d\phi. \nonumber \]

      Recommended articles

      1. Article type Section or Page License CC BY-SA License Version 4.0
      2. Tags
         1. authorname:activecalc
         2. source@https://activecalculus.org/ACM.html
         3. source[translate]-math-108027
         4. triple integral
         5. triple integral in cylindrical coordinates
         6. triple integral in spherical coordinates