Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом a при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що проходить через основу рівнобедреного трикутника, нахилена до площини основи під кутом y . Позначте які з наведених чотирьох тверджень правильні 1. Площина, що проходить через бічне ребро призми і уентр кола, вписаного в основу, ділить двогранний кут при бічному ребрі призми пополам 2. Бічне ребро призми дорівнює 2r*ctg*a/2*tgy 3. Одна з сторін основи призми дорівнює r*ctg*a/2 4. Один з двогранних кутів при бічному ребрі призми дорівнює a

” Основой прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом a при основании и радиусом вписанной окружности r. Диагональ боковой грани, проходящей через основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом y . Отметьте, какие из приведенных четырех утверждений правильные

1. Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и уентр круга, вписанного в основание, делит двугранный угол при боковом ребре призмы пополам

2. Боковое ребро призмы равна 2r*ctg*a/2*tgy

3. Одна из сторон основания призмы равна r*ctg*a/2

4. Один из двугранных углов при боковом ребре призмы равна a”

1) Т.к. центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то плоскостью, проходящей через боковое ребро призмы и центр круга, вписанного в основание, будет плоскость АКК₁А₁ , где АК, А₁К₁-биссектрисы нижнего и верхнего оснований.

Поэтому 1 утверждение верное.

2) Боковое ребро найдем из ΔАСС₁ -прямоугольного : СС₁=АС*tgy.

ΔАВС-равнобедренный. В равнобедренном

треугольнике биссектриса ВН является высотой и

медианой .АК-биссектриса, значит ∠ОАН= .

Поэтому 2 утверждение верное.

3) 3 утверждение неверное , т.к. в п 2 найдена сторона основания АС=2r*ctg . а боковая сторона будет искаться через косинус или синус ΔАВН.

4)4 утверждение верное . Это двугранный угол , например САА₁В, т.к

Шлях до математики: кроки успіху

Г.
Так як діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d=a , то маємо 2 , звідки сторона куба дорівнює 2. Площа однієї грані куба дорівнює 2 2 =4. Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6⋅4=24 см 2 .

В.
Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6S, де S – площа однієї грані. Тоді S=96:6=16 см 2 .Так як гранню куба є квадрат, а його площа дорівнює квадрату ребра, то ребро куба дорівнює 4 см.

Г.
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. p=(10+13+13):2=36:2=18 см. S= = = =3⋅4⋅5=60 см 2 . Так як трикутник є основою призми (він не може бути бічною гранню), то площа основи S_осн=60 см 2 .
Найбільша бічна грань містить більшу сторону основу, тобто одна зі сторін прямокутника дорівнює 13 см. Площа прямокутника S=ab, маємо 260=13а, звідки а=260:13=20. Тоді друга сторона прямокутника бічної грані (висота призми) дорівнює 20 см. Тоді площа іншої бічної грані S=10⋅20=200 см 2 . Площа бічої поверхні призми дорівнює S_бічна=260+260+200=720 см 2 . S_повна=S_бічна+2S_осн=720+2⋅60=720+120=840 см 2 .

В.
Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 22:2=11 см. Так як сторона основи 3, то висота призми 11-3=8 см. Площа однієї грані 3⋅8=24 см 2 . Так як призма правильна чотирикутна, то бічна поверхня складається з 4 однакових граней. Тоді площа бічної поверхні дорівнює 4⋅24=96 см 2 .

В.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тому сторна основи дорівнює Р:3=12:3=4 см. Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 20:2=10 см. Так як сторона основи 4, то висота призми 10-4=6см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тобто 12⋅6=72 см 2 .

В.
Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S=12⋅6=72 см 2 .

Б.
Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо сторони основи 2х, 3х та 4х. Якщо взяти висоту призми за Н, тоді площа найменшої грані дорівнює 2х⋅H, або 12 за умовою. Звідси х⋅H=12:2=6 см 2 . Периметр основи P=2х+3х+4х=9х. Тоді площа бічної грані S_бічна=P⋅H=9x⋅H=9⋅6=54 см 2 .

А.
Так як призма правильна, то вона пряма. Тоді ребро висота призми є бічним ребром і її квадрат можна знайти за теоремою Піфагора як різницю квадратів діагоналі бічної грані та основи (діагональ бічної грані є гіпотенузою). Тоді висота призми дорівнює . Так як в основі правильний трикутник, то периметр основи дорівнює 3а. Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S_б=3a .

Б.
За малюнком маємо наступні лінійні вимірки коробки: 5⋅15=75 мм, 2⋅15=30 мм, 10 см. Переведемо всі виміри у см: 7,5 см, 3 см, 10 см. Оскільки в паралелепіпеда три пари однакових граней, то площа повної поверхні: 2(7,5⋅3+7,5⋅10+3⋅10)=15⋅3+15⋅10+6⋅10=45+150+60=255 см 2 .

Г. Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді сторона основи дорівнює Р:3=12:3=4 см. Нехай висота призми дорівнює х, тоді за малюнком периметр розгортки дорівнює, починаючи знизу, 4+х+х+4+х+х+4+х+х+4=16+6х, що дорівнює 52 за умовою. Тоді 16+6х=52, звідки 6х=52-16=36 і х=6 см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тому маємо 12⋅6=72 см 2 .

В.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S_осн=a 2 =8 2 =64 см 2 . Площа повної поверхні правильної піраміди S_повна=S_бічна+S_осн, звідки S_бічна=S_повна-S_осн=208-64=144 см 2 . Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a=4⋅8=32 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 144=32⋅h_a:2, звідки довжина апофеми h_a=144:32⋅2=9 см.

Д.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S_осн=a 2 =6 2 =36 см 2 . Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a=4⋅6=24 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо S_бічна=24⋅7:2=12⋅7=84 см 2 . Площа повної поверхні правильної піраміди S_повна=S_бічна+S_осн=84+36=120 см 2 .

А.
Знайдемо площу основи. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи S_осн=6 2 =36. Так як всі грані піраміди нахилені під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні з кутом нахилу 60 o . Тоді S_бічн=S_осн:cos60 o =36:0,5=72 см 2 .

А.
Так як піраміда правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді Р=10⋅3=30 см. Бічна грань – рівнобедрений трикутник, бічні сторони 13, а основа 10. Апофема ділить основу навпіл, тому її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо апофему 12 (її квадрат за теоремою Піфагора 13 2 -5 2 =169-25=144). Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 30⋅12:2=180 см 2 .

А.
Так як трикутники правильні, то їх площу можна знайти за формулою S= . Маємо S= = . Так як сторони квадрата рівні, то рівні сторони і у трикутників. Тоді площу бічної грані знайдемо помноживши площу одного трикутника на 4. Маємо S=4⋅25 =100 .

Д.
З умови маємо, що грані пірамід (трикутники) подібні. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Отже, так як ребра піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁, то коефіцієнт подібності дорівнює 2. Тоді площа грані SAB в 4 рази більше площі грані S₁A₁B₁ і дорівнює 4⋅8=32. Так як піраміда правильна трикутна, то площу бічної поверхні піраміди SABC знайдемо помноживши площу однієї іі бічної грані на 3. Маємо 32⋅3=96 см 2 .

96. Так як дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висота піраміди проходить через їх спільне ребро. Таким чином, SB- висота піраміди і дорівнює 4 см. Проведемо в ромбі висоти ВК і ВМ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похилі SK і SM також перпендикулярні до сторін основи і кути SKB та SMB є кутами нахилу бічних граней до площини основи і дорівнюють 30 o за умовою. З прямокутного трикутника SBK SK=SB:sin∠SKB=4:sin30 o =4:0,5=8, BK=SBctg∠SKB=4ctg30 o = .Так як в ромбі кут В дорівнює 120 o , то кут А дорівнює 180 o -120 o =60 o . З прямокутного трикутника АВК АВ=ВК:sin∠ВАК=4 :sin60 o =4 =4⋅2=8 см. Площа трикутника ASB дорівнює 0,5АВ⋅SB=0,5⋅8⋅4=16 см 2 . Аналогічну площу має трикутник SBC. Площа трикутника ASD дорівнює 0,5AD⋅SK=0,5⋅8⋅8=32 2 . Аналогічну площу має трикутник SDM. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней і дорівнює 16+16+32+32=96 см 2 .

144. Проведемо в ромбі перпендикуляр ОК. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похила SK також перпендикулярна до сторони основи і кут SKО є кутом нахилу бічних граней до площини основи і дорівнює 60 o за умовою. Крім того, оскільки ОК – перпендикуляр з центра ромба до сторони ромба, то ОК – центр вписаного кола і за умовою дорівнює 3 см. Проведемо висоту ВМ ромба. Так як відрізки BM і ОК перпендикулярні до сторони основи, то вони паралельні. Так як точка О ділить BD навпіл відрізки ОК і ВМ паралельні, то ОК – середня лінія трикутника BMD, тоді ВМ=2ОК=6 см. Так як ∠C=∠A=30 o , то з прямокутного трикутника ВСМ ВС=ВМ:sin∠BCM=6:sin30 o =6:0,5=12 см.
І спосіб. З прямокутного трикутника SОK SK=ОК:cos∠OKS=3:cos60 o =3:0,5=6.Площа бічної грані SDC дорівнює 0,5CD⋅SK=0,5⋅12⋅6=36 см 2 . Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, всі ребра основи рівні, то піраміда має однакові бічні грані і площа бічної поверхні дорівнює площі однієї бічної грані, помноженої на 4, тобто 36⋅4=144 см 2
ІІ спосіб. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули S_пр=S⋅cosφ слідує, що площу бічної поверхні піраміди можна знайти, поділивши площу основу на косинус кута нахилу. Площу ромба знайдемо як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. S=CD⋅BM=12⋅6=72 см 2 . Поділимо це число на cos60 o (0,5) і отримаємо 144 см 2 .

108. Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О – середина АС, то ОМ – середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто 6:2=3 см. З прямокутного трикутника SOM SM=OМ:sin∠OSM=3:sin30 o =3:0,5=6 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо Р=4⋅6=24 см і S_б=24⋅6:2=72 см 2 . Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат і S_осн=6 2 =36 см 2 . S_п=S_осн+S_б=36+72=108 см 2 .

27. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата дорівнює х. Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О – середина АС, то ОМ – середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто х:2=0,5х см. З прямокутного трикутника SOM SO=OМtg∠SMO=0,5xtg60 o =0,5x см. Діагональ BD квадрата x . Тоді площа шуканого перерізу (трикутника BSD) дорівнює 0,5BD⋅SO= 0,5⋅(0,5x . Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули S_пр=S⋅cosφ слідує, що S_б=S_осн:cos60 o =S_осн:0,5=2S_осн. S_п=S_осн+S_б=S_осн+2S_осн=3S_осн. Звідси S_осн=S_п:3=18 . Отже x 2 =18 . Тоді площа шуканого перерізу дорівнює 0,25⋅18 =0,25⋅18⋅6=27 см 2 .

24. Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді кут SMO є кутом між апофемою та площиною основи і дорівнює 60 o . З прямокутного трикутника SOM SM=SO:sin∠OMS=3:sin60 o =3: , OM=SO:tg∠OMS=3:tg60 o = . Так як Тоді AD||OM і так як О – середина АС, то ОМ – середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто AD=2OM= см. Тоді периметр основи Р=4AD= . Площа бічної поверхні піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо = =24 см 2 .