4. Раціональні числа

Виконується співвідношення ℤ ⊂ ℚ , оскільки будь-яке число \(m\) можна зобразити у вигляді m 1 .

Для раціональних чисел, окрім вказаного вище запису m n , можна використовувати інший вигляд запису, який представлено нижче.

Десятковий дріб \(4,244\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу \(4,244000. \) .

Група цифр після коми, що повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.

Число \(7\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\) : \(7 = 7,00000. = 7,(0)\).

Щоб усе було чітко, кажуть так: \(4,244\) — кінцевий десятковий дріб, а \(4,244000. \) — нескінченний десятковий дріб.

Взагалі будь-яке раціональне число можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Правильно і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна зобразити у вигляді звичайного дробу.

Завдання. Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний десятковий періодичний дріб:

Помножимо \(x\) на таке число, щоб кома пересунулася вправо рівно на один період. Оскільки в періоді містяться дві цифри, потрібно, щоб кома пересунулася вправо на дві цифри, а для цього число \(x\) треба помножити на \(100\).

✅Раціональні числа

Довільне цілочисельне число b називається раціональним числом, якщо його можливо написати у вигляді b/1. Число, яке можливо написати у вигляді дробу b/m, де b є цілим числом, а m натуральним числом, називається раціональним дробом.

Які числа можна назвати раціональними

Раціональним числом може бути також і будь-яка від’ємний дріб, якщо її знову ж таки можна записати у вигляді, наприклад:

Такі числа як 0, 47; 2 (2/7) – так ми будемо позначати змішаний дріб, -3, 51367, ;-7, 823321, -4*(2/5).

Тепер покажемо що всі ці числа є раціональними числами:

0, 47=47/100; 2*(2/7)=16/7;-3, 51367=-351367 / 100000;-7, 823321=-7823321/1000000;

Сума, різниця, добуток, раціональних чисел

Також раціональними числами є сума, різниця і добуток раціональних чисел:

Як завжди покажемо на прикладі:-3/7 + 4/7=1/7 5/8 3/4=5/8 6/8=-1 / 8

Якщо дільником є будь-яке число відмінне від нуля, то приватне двох раціональних чисел є також раціональним числом.

Будь-яке раціональне число у вигляді дробу

Ви вже навчилися представляти деякі звичайні дроби у вигляді десяткових дробів. Наприклад:

7/25=0, 28Тому, що 7 ділити на 25 виходить 0, 28

Але не всі звичайні дроби виходить представити як десятковий дріб

Наприклад, якщо нам доведеться ділити 2 на 3, то ми отримаємо спочатку нуль цілих, а пізніше безліч шісток після коми, які ніколи не закінчаться, в таких випадках зазвичай округлюють, наприклад: 2/3=0, 66667. . .

Ділення в цьому випадку просто нескінченно, воно ніколи не закінчиться, тоді ми можемо записати 1/3=0, 333333…

При розподілі 5 на 11, можна отримати 5/11=+0, 4545454545, а при діленні 1 на 15, можна отримати, що 1/15=0. 066666666…

У записах 0, 333. . . , 0, 4545. . . і 0, 0666. . . декілька або одна цифра починає нескінченно повторюватися багато, багато разів. Такі записи називаються періодичними дробами

Замість запису 0, 333. . . зазвичай пишуть 0, (3), замість 0, 4545. . . пишуть 0, (45), а замість 0, 0666. . . пишуть 0, 0 (6).

Примітка: іншими словами, після того, як закінчується частина де цифри не повторюються, і починається так звана періодична частина, в дужках пишуть ту частину, яка надалі повторюється безліч разів.

Виходить, що абсолютно будь-яке раціональне число можна представити у вигляді десяткового дробу (окремий випадок це коли дріб є цілим числом, наприклад: 3/1=3), або якщо ми маємо справу з нескінченною частиною дробу, тоді ми записуємо у вигляді періодичного дробу.

Приклади таких дробів описані вище.

Для дробу 2/3 кількість 0, 6 буде значенням, наближеному до однієї третини, яке округлене до десятих з недоліком, але 0. 3

Число 0, 4 буде значенням, наближеним до цього дробу округленому до десятих з надлишком:

Ми можемо це записати у вигляді подвійної нерівності: 0, 3

Якщо число 5/11=0, 454545. . . округлити до десятих, то отримаємо 5/11 приблизно рівне 0, 5, якщо це число округлити до сотих, то отримаємо 5/11=0, 45, а якщо округлити до тисячних, то отримаємо 5/11=0, 455.

5. Раціональні числа

Якщо до натуральних чисел приєднати число \(0\) та всі цілі від’ємні числа: \(-1,-2,-3,-4, . \) отримаємо множину цілих чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою ℤ .

Якщо до множини цілих чисел приєднати всі звичайні дроби: 2 3 ; − 1 2 ; 8 3 тощо, отримаємо множину раціональних чисел. Цю множину зазвичай позначають буквою ℚ .

Будь-яке ціле число \(m\) можна записати у вигляді дробу m 1 , тому правильним є твердження про те, що множина ℚ раціональних чисел — це множина, що складається з чисел вигляду m n ; − m n , де \(m, n\) — натуральні числа.

1. Замість фрази «\(n\) — натуральне число» можна писати n ∈ ℕ (читається: «елемент \(n\) належить множині ℕ »).

Зрозуміло, що ℕ — частина множини ℤ , а ℤ — частина множини ℚ . Для опису цієї ситуації в математиці також є спеціальне позначення: ℕ ⊂ ℤ , ℤ ⊂ ℚ .

Запис A ⊂ B означає, що множина \(A\) є частиною множини \(B\). Математики частіше кажуть так: \(A\) — підмножина множини \(B\).

А як записати, що елемент \(x\) не належить множині \(X\) або що множина \(A\) не є частиною (підмножиною) множини \(B\) ?

Ціле число \(5\) можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(5,0000 . \) Десятковий дріб \(8,377\) також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: \(8,377000 . \) Для числа 7 22 скористаємося методом «ділення кутом»:

Як бачимо, починаючи з другої цифри після коми відбувається повторення тієї самої групи цифр: \(18, 18, 18, . \). Отже, 7 22 \(= 0,3181818. \) . Коротше це записують так: \(0,3(18)\).

Повторювану групу цифр після коми називають періодом , а сам десятковий дріб — нескінченним десятковим періодичним дробом.

До речі, число \(5\) також можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового дробу. Для цього потрібно в періоді записати число \(0\):

Взагалі, будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Цей висновок зручний для теорії, але не надто зручний для практики. Адже, якщо в нас є скінченний десятковий дріб \(8,377\), навіщо потрібен його запис у вигляді \(8,377 (0)\)?

Тож зазвичай говорять так: будь-яке раціональне число можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу.

Вище ми показали, як звичайний дріб зображають у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Правильним є і протилежне: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу.