Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Означення. Трикутник – фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

За кількістю рівних сторін

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Проти рівних сторін лежать рівні кути: якщо α > β , тоді a > b якщо α = β , тоді a = b

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвійний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема про проекції

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2 + m_c 2 ) – m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_c 2 ) – m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_b 2 ) – m_c 2

Медіани трикутника

Означення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Медіани трикутника перетинаються в одній точці. (Точка перетину медіан називається центроїдом)

Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Бісектриси трикутника

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, – центрі вписаного кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

Висоти трикутника

Означення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

• бути всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
• збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
• проходити поза трикутником – для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Формули висот трикутника

Коло вписане в трикутник

Означення. Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох його сторін.

Властивості кола вписаного в трикутник

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Коло описане навколо трикутника

Означення. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить усі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Зв’язок між вписаним та описании колами трикутника

Середня лінія трикутника

Властивості середньої лінії трикутника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з’єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок – середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

Формула Герона

Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутка двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Рівність трикутників

Властивість. У рівних трикутників рівні їх відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників – за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників – за стороною та двом прилеглим кутам

Якщо сторона і два кути, що прилягають до неї одного трикутника, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників – за трьома сторонам

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібність трикутників

Означення. Подібні трикутники – трикутники відповідні кути яких рівні, а відповідні сторони пропорційні.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

де k – коефіцієнт подібності

Ознаки подоби трикутників

Перша ознака подоби трикутників

Друга ознака подібності трикутників

Третя ознака подоби трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Периметр прямокутного трикутника – формули та приклади

Периметр прямокутного трикутника – це загальна довжина навколо трикутника.

Периметр прямокутного трикутника можна знайти, додавши довжини всіх сторін трикутника. Зазначимо, що якщо будь-яка сторона трикутника невідома, ми можемо скористатись теоремою Піфагора, щоб знайти її довжину. Тобто, щоб знайти периметр прямокутного трикутника нам достатньо довжин двох його сторін.

В даній публікації ми дізнаємося про формулу периметра прямокутного трикутника. Крім того, коротко розглянемо теорему Піфагора, яку можна використовувати для обчислення довжин сторін. І, на завершення, розв’яжемо кількох прикладів, у яких будемо застосовувати вивчені формули.

Як знайти периметр прямокутного трикутника?

Як зазначалося вище, якщо ми знаємо довжини всіх трьох сторін прямокутного трикутника, то, для того, щоб знайти його периметр, нам просто потрібно обчислити їх суму. Тобто, для трикутника ABC зображеного нижче, матимемо: , де P – периметр прямокутного трикутника.

Якщо відомими є довжини двох сторін, то у цьому випадку, за теоремою Піфагора, ми спочатку знаходимо відсутню сторону, а потім обчислюємо периметр прямокутного трикутника.

Нагадаємо, що теорема Піфагора стверджує, що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін прямокутного трикутника.

Знову-таки, зосередити свою увагу на трикутнику ABC, що міститься вище. Виходячи з того, що у цьому трикутнику AB і AC – сторони, які разом утворюють кут 90°, а BC – гіпотенуза, то теорема Піфагора для нього записується в наступному вигляді:

Тепер, використовуючи цю теорему, можна вивести наступні формули для знаходження невідомої сторони трикутника:

Після того, як відсутня сторона знайдена, периметр прямокутного трикутника можна обчислити за тією ж основною формулою .

Зазначимо, що наступні формули також можна використовувати безпосередньо, якщо одна зі сторін невідома:

Зауваження: якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) буквами a і b, а довжину гіпотенузи – c, то формули периметра перепишеться у більш звичній буквенній формі:

Периметр прямокутного трикутника – приклади з відповідями.

На наступних прикладах ви можете потренуватися розв’язувати задачі, пов’язані з прямокутними трикутниками. Кожен приклад має рішення але рекомендуємо спробувати розв’язати задачі самостійно, перш ніж дивитися відповідь.

Приклад 1: чому дорівнює периметр прямокутного трикутника зі сторонами 8 см, 9 см і 12 см?

Отже, за умовою маємо, що сторони триктуника рівні 8 см, 9 см та 12 см. Використовуючи ці значення у формулі периметра, будемо мати:

Звідси, периметр прямокутного трикутника дорівнює 29 см.

Приклад 2: знайдіть периметр прямокутного трикутника зі сторонами 10 см, 24 см і 26 см.

Зазначимо, що у цьому випадку сторони a, b і с трикутника рівні 10 см, 24 см та 26 см відповідно. Використовуючи ці значення у формулі , матимемо:

Отже, периметр прямокутного трикутника дорівнює 60 см.

Приклад 3: чому дорівнює периметр прямокутного трикутника зі сторонами 11 см, 12 см і 16 см?

За умовою, сторони трикутника рівні 11 см, 12 см та 16 см. Тому, замінивши a, b та c у формулі периметра заданим значенням отримаємо:

Таким чином, периметр прямокутного трикутника дорівнює 39 см.

Приклад 4: знайдіть периметр прямокутному трикутнику, основа і висота якого дорівнюють 6 см та 8 см відповідно.

Отже, за умовою маємо, що a=8, b=6. Гіпотенуза с відсутня, тому для обчислення її довжини, скористаємося теоремою Піфагора:

Після того, як невідома сторона знайдена, периметр прямокутного трикутника обчислюємо за формулою :

Таким чином, периметр прямокутного трикутника дорівнює 24 см.

Приклад 5: знайдіть периметр прямокутного трикутника, гіпотенуза якого дорівнює 16 см, а довжина однієї з перпендикулярних сторін дорівнює 12 см.

За умовою маємо, що довжина гіпотенузи прямокутного трикутника рівна 16 см, а довжина одного з катетів – 12 см. Підставляючи ці значення у формулу будемо мати:

Отже, периметр прямокутного трикутника дорівнює 48 см.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутний трикутник? Перегляньте ці сторінки: