Прості та складені числа

Просте число — це натуральне число, яке має рівно два різних натуральних дільники (лише 1 і саме число).

Послідовність простих чисел починається так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 , 127, 131, 137, 139, 149, …

Складене число

Складене число — натуральне число, яке більше 1 і не є простим. Кожне складене число є добутком двох натуральних чисел, більших 1.

Послідовність складених чисел починається так: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, …

Будь-яке складене число може бути єдиним чином розкладене в добуток простих множників.

Основна теорема арифметики

Будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників.

Розклад натуральних чисел на добуток простих

Представлення натурального числа у вигляді добутку простих називають розкладом на прості або факторизацією числа.

✅Прості і складені числа

Кожне натуральне число, крім одиниці, має два або більше дільників. Наприклад, число 7, ділиться без залишку тільки на 1 і на 7, тобто має два дільники. А у числа 8, подільники 1, 2, 4, 8, тобто аж 4 дільники відразу.

Чим відрізняються прості і складені числа

Числа, які мають більше двох дільників, називаються складеними. Числа, які мають тільки два дільники: одиниця й саме це число, називаються простими числами.

Число 1 має тільки один ділити, а саме це число. Одиниця не відноситься ні до простих, ні до складених числах.

Наприклад, число 7 просте, а число 8 складене.

Перші 10 простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 єдине парне просте число, всі інші прості числа непарні.

Число 78 складене, бо крім 1 і самого себе, воно ділиться ще і на 2. При розподілі на 2 отримаємо 39. Тобто 78=2*39. У таких випадках говорять, що число розклали на множники 2 і 39.

Будь-яке складене число можна розкласти на два множники, кожен з яких більше 1. З простим числом такий фокус не прокотить. Такі справи.

Розкладання числа на прості множники

Як вже зазначалося вище, будь-яке складене число, можна розкласти на два множники. Візьмемо, наприклад, число 210. Це число можна розкласти на два множники 21 і 10. Але числа 21 і 10 теж складові, розкладемо і їх на два множники.

Отримаємо 10=2*5, 21=3*7. І в підсумку число 210 розклалося вже на 4 множники: 2, 3, 5, 7. Ці числа вже прості і їх розкласти можна. Тобто ми розклали число 210 на прості множники.

При розкладанні складених чисел на прості множники, їх зазвичай, записують у порядку зростання.

Слід запам’ятати, що будь-яке складене число можна розкласти на прості множники і причому єдиним чином, з точністю до перестановки.

Зазвичай, при розкладанні числа на прості множники користуються ознаками подільності.

Розкладемо число 378 на прості множники

Будемо записувати числа, розділяючи їх вертикальної рисою. Число 378 ділиться на 2, оскільки закінчується на 8. При розподілі отримаємо число 189. Сума цифр числа 189 ділиться на 3, значить і саме число 189 ділиться на 3. В результаті отримаємо 63.

Число 63 теж ділиться на 3, за ознакою подільності. Отримуємо 21, число 21 знову можна розділити на 3, отримаємо 7. Сімка ділиться тільки на себе, отримуємо одиницю. На цьому закінчено поділ. Праворуч після риси вийшли прості множники, на які розкладається число 378.