Гіроскоп. Прецесія гіроскопа
Гіроскопом називають масивне симетричне тіло, що обертається з великою швидкістю навколо осі симетрії. Вісь симетрії є однією з го-ловних осей інерції. Тому, відповідно до рівняння , момент ім-пульсу гіроскопа збігається з віссю обертання. Цікаво поводиться гіроскоп у разі дії на нього моменту сили. Прикладемо до гіроскопа пару сил і (рис.7.14). Замість очікуваного повороту навколо осі відбувається по-ворот гіроскопа навколо осі . Це явище було названо гіроскопічним ефектом. Покажемо, що цей ефект повністю відповідає законам динаміки обертального руху.
У разі дії на гіроскоп моменту сил протягом проміжку часу момент імпульсу гіроскопа змінюється на величину: . У момент часу сумарний момент імпульсу гіроскопа буде рівним: і набере нового напрямку. Цей напрямок повинен збігатися з новим на-прямком осі обертання, внаслідок чого й відбувається поворот гіроскопа навколо осі до повного збігу векторів і , після чого поворот гіроскопа припиниться.
Гіроскопи мають поширене застосування в техніці. Наприклад, гіроскопічний ефект по-кладений в основу гіроскопічного компаса. Він являє собою гіроскоп, вісь якого може вільно повертатися в горизонтальній площині (рис.7.15). Під дією сил інерції, що виникають за рахунок обертання Землі, вісь гіроскопа (яка
слугує стрілкою компаса) повертається так, щоб кут між векторами та зменшувався. Це триває доти, поки цей кут не стане мінімальним, тобто поки вісь гіроскопа не встановиться в ме-
Рис.7.14 ридіальній площині.
Якщо на гіроскоп діє постійний за величи-ною момент сили, який увесь час слідує за віссю гіроскопа, то гіроскоп виконує рух, названий прецесією гіроскопа. Нехай гіроскоп із шарнір-ною опорою в точці О нахилений під кутом α відносно вертикалі z (рис.7.16). Момент сили тяжіння сприяє виникненню гіроскопічного ефекту, що спричинює прецесію гіроскопа, яка
Рис.7.15 полягає в тому, що вісь гіроскопа, з якою збігається вектор , описує конус (тобто повертається) навколо вертикалі z. Знайдемо частоту цього обертання (її називають частотою прецесії)при кутовій швидкості гіроскопа . Якщо за деякий проміжок часу площина, що проходить через вертикаль і вісь гіроскопа, повернеться на деякий кут , то частота прецесії буде дорівнювати:
Зрозуміло, що вектор спрямований уверх уздовж осі z, і надалі всі обчислення проведемо в скалярній формі. При малому куті повороту дуга приблизно дорівнює хорді. Тоді на підставі рис. 7.16знаходимо:
Підставивши це значеннякута в рівняння (7.41), знайдемо частотупрецесії:
Швидкість прецесії не залежить від кута нахилу гіроскопа.
Строго кажучи, у випадку прецесії момент імпульсу гіроскопа не збігається з віссю симетрії гіроскопа, оскільки гіроскоп оберта-ється із сумарною швидкістю і момент імпульсу буде дорівнювати . Однак швидкість прецесії набагато менша від швидкості обертання гіроскопа , й у Рис.7.16
першому наближенні при отриманні формули (7.42) прийнято, що . Розділимо все рівняння (7.42) на :
У рівнянні (7.43) величина пропорційна потенціальній енергії гіроскопа в полі тяжіння, а – кінетичній енергії обертального руху гі-роскопа. Умова означає, що потенціальна енергія гіроскопа в полі тяжіння досить мала порівняно з його кінетичною енергією обертання.
studopedia.org – Студопедия.Орг – 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с) .
Вивчення прецесії гіроскопа
Ознайомлення з особливостями руху гіроскопа. Визначення кутової швидкості прецесії і моменту інерції гіроскопа.
Деякі теоретичні положення
Гіроскопом називається масивне симетричне тверде тіло, яке здатне обертатись навколо власної осі симетрії з великою кутовою швидкістю (рис.1).
Встановлено, що якщо вісь гіроскопа, який обертається з великою кутовою швидкістю, розташована вертикально, то його обертання може тривати дуже довго. Якщо вісь відхилиться від вертикалі, то гіроскоп, не впаде, а буде здійснювати так званий прецесійний рух, його вісь буде описувати поверхню кругового конуса з вершиною у точці опори (рис.2).
Прецесія – це складний рух, яке складається з обертання гіроскопа навколо двох осей, які перетинаються. Навколо власної осі він обертається з кутовою швидкістю , а навколо нерухомої вертикальної осі з кутовою швидкістю . Точка перетину двох осей є єдиною нерухомою точкою гіроскопа. У прикладі, який розглядається на рис.2, – це точка опори гіроскопа на горизонтальну поверхню. У загальному випадку прецесійного руху нерухомою може бути будь яка точка осі гіроскопа, наприклад його центр мас.
Кутова швидкість обертання гіроскопа навколо власної осі називається кутовою швидкістю власного обертання. Кутова швидкість , з якою вісь гіроскопа обертається навколо нерухомої осі, називається кутовою швидкістю прецесії. Зазвичай кутова швидкість власного обертання гіроскопа не набагато більшою за кутову швидкість прецесії.
Якщо на вісь гіроскопа діє деяка сила, яка створює момент сили , то момент імпульсу відносно точки (головний момент імпульсу) змінюється у відповідності з рівнянням моментів
Аналіз рівняння (1) спрощується внаслідок того, що кутова швидкість обертання гіроскопа дуже велика. Це означає, що головний момент імпульсу практично направлений по осі гіроскопа. Момент зовнішніх сил направлений перпендикулярно до осі гіроскопа, тобто практично перпендикулярно до головного моменту імпульсу . Елементарне прирощення моменту імпульсу повинно бути направлене перпендикулярно до вектора моменту імпульсу у напрямку, паралельному вектору моменту зовнішніх сил . Таке прирощення спричинить зміну напрямку вектора моменту імпульсу , тобто зміну напрямку осі гіроскопа. Якщо при цьому вісь гіроскопа повертається на кут , то відповідна зміна модуля вектора моменту імпульсу буде дорівнювати
Якщо при зміні напряму осі на кут момент зовнішньої сили повернеться на такий же кут і не змінить свою величину, то ситуація у новому положенні гіроскопа буде аналогічною, тобто відбудеться так ж сама зміна напряму осі обертання гіроскопа за наступний момент часу , тобто під дією постійного моменту сил виникне обертання осі гіроскопа з постійною кутовою швидкістю При цьому зміна моменту імпульсу за одиницю часу, рівне , буде визначатися рівнянням (1) і дорівнювати
Враховуючи, що для гіроскопа, який швидко обертається,
де – момент інерції гіроскопа відносно його осі, одержимо формулу для визначення модуля вектора кутової швидкості прецесії
Отже, обертання осі гіроскопа з кутовою швидкістю відносно його осі під дією постійного моменту сил, називається прецесією гіроскопа.
Опис приладу та методики вимірювань
Прилад (рис.3) складається з електричного моторчика А, закріпленого в обоймі В. Обойма опирається на вертикальний стрижень С і може обертатись навколо горизонтальної осі, а разом зі стрижнем – навколо вертикальної. Власне гіроскопом є ротор моторчика з масивним диском Е. Момент зовнішніх сил, прикладених до гіроскопа, може змінюватись при переміщенні вантажу К по стрижню обойми. Прилад має також електронний блок G, у склад якого входять: система вимірювання швидкості обертання моторчика, електронний таймер, фотоелектрична система вимірювання кута повороту гіроскопа навколо вертикальної осі.
Увімкнення моторчика здійснюється шляхом виведення ручки «скорость вращения» 1 із крайнього лівого положення. Подальше обертання цієї ручки за годинниковою стрілкою приводить до збільшення швидкості обертання моторчика. Стрілковий прилад 2 на панелі блоку показує швидкість обертання моторчика.
Увімкнення електронного таймера і фотоелектричної системи вимірювання кута повороту гіроскопа навколо горизонтальної осі здійснюється шляхом натискання клавіші «сеть» 3. При натисканні на клавішу «сброс» 4 здійснюється обнулювання табло електронного блока 6, 7. Після натискання на клавішу «сброс» здійснюється запуск фотоелектронної системи вимірювання кута і електронного таймера в момент, коли світловий потік попадає на фотоелемент системи через один з прорізів на циліндричній діафрагмі D, яка обертається разом з гіроскопом навколо вертикальної осі. Після натискання на клавішу «стоп» 5 здійснюється зупинка вимірювання часу і кута при черговому попаданні світлового пучка на фотоелемент системи. Кутову швидкість прецесії одержують шляхом ділення зафіксованого на табло 7 електронного блока значення кута на відповідний час .
Порядок виконання роботи
1. Закріпіть вантаж К на стрижні обойми так, щоб увесь прилад знаходився у байдужій рівновазі. Вісь гіроскопа встановіть горизонтально.
2. Увімкніть моторчик і зачекавши 2-3 хвилини, доки ротор не почне обертатись з номінальним числом оборотів.
3. Зміщенням вантажу К створіть момент сили тяжіння М. Величина цього моменту визначається за формулою , де – заданий модуль ваги вантажу, – відстань цього вантажу від його початкового положення, яка вимірюється за шкалою на стрижні.
4. Виміряйте величину кутової швидкості прецесії при різних значеннях моменту (при різних значеннях плеча ). Треба зробити 3-4 вимірювання для кожного значення швидкості обертання ротора (рекомендовані значення швидкості обертання 2000, 4000 і 6000 обертів за хвилину). При стійкій роботі моторчика в межах похибки вимірювань повинна виконуватись така умова
5. Скориставшись формулою (6) визначте середнє арифметичне значення величини для кожного значення кутової швидкості обертання ротора .
6. За формулою (4) обчисліть момент інерції гіроскопа для кожного значення кутової швидкості обертання ротора і середнє арифметичне значення моменту інерції гіроскопа . Обчисліть абсолютну та відносну похибки.
Питання для самоконтролю при підготовці до виконання та захисту експериментальних лабораторних робіт з механіки.