§7 ПОЧАТКОВІ ВІДОМОСТІ ЗІ СТЕРЕОМЕТРІЇ
У стереометрії, крім точок, прямих і площин, розглядають геометричні тіла. Прикладами тіл є многогранники (рис. 26.1). Поверхня многогранника складається з многокутників. Їх називають гранями многогранника. Сторони многокутників називають ребрами многогранника, а вершини — вершинами многогранника.
У 5 класі ви ознайомилися з одним із видів многогранника — прямокутним паралелепіпедом і його окремим видом — кубом. На рисунку 26.2 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.
Прямокутний паралелепіпед є окремим видом многогранника, який називають призмою.
Многогранник, зображений на рисунку 26.3, є шестикутною призмою. Дві його грані ABCDEF і A1B1C1D1E1F1 — рівні шестикутники, які лежать у паралельних площинах. Їх називають основами призми. Усі інші шість граней — це паралелограми. Їх називають бічними гранями призми.
Ребра призми, які належать основам, називають ребрами основ призми, а всі інші ребра — бічними ребрами призми. Усі бічні ребра призми паралельні й рівні.
Названі елементи призми вказано на рисунку 26.4.
Аналогічно можна говорити про n-кутну призму.
Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до площини основи, то призму називають прямою. На рисунку 26.5 зображено пряму п’ятикутну призму. Бічні грані прямої призми є прямокутниками.
Прямокутний паралелепіпед — це окремий вид прямої призми.
Площа бічної поверхні призми — це сума площ усіх її бічних граней.
Теорема 26.1. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи та довжини бічного ребра.
Доведення. Нехай а1, а2, …, аn — довжини сторін основи прямої призми, h — довжина бічного ребра, Росн — периметр основи, Sб, — площа бічної поверхні. Оскільки бічні грані прямої призми — прямокутники, то:
Площа поверхні призми — це сума площ усіх її граней.
Позначивши площу основи Sосн, можна записати очевидну формулу для знаходження площі Sп поверхні призми:
Кожне геометричне тіло має певний об’єм. З такою величиною, як об’єм, ви часто стикаєтесь у повсякденному житті: об’єм пакета соку, об’єм скляної банки, показники споживання води або палива на лічильниках тощо.
Досвід підказує, що однакові посудини мають однакові об’єми; об’єм посудини, яка складається з кількох частин, дорівнює сумі об’ємів цих частин.
Ці приклади ілюструють такі властивості об’єму фігури:
1) рівні фігури мають рівні об’єми;
2) об’єм фігури дорівнює сумі об’ємів фігур, з яких вона складається.
Як і у випадках з іншими величинами (довжина, площа), потрібно ввести одиницю виміру об’єму.
За одиницю виміру об’єму приймають куб, ребро якого дорівнює одиничному відрізку. Такий куб називають одиничним.
Об’єм V прямої призми обчислюють за формулою
де Sосн — площа основи призми, h — довжина бічного ребра.
Цю формулу буде доведено в курсі стереометрії.
На рисунку 26.6 зображено многогранник, одна грань якого — многокутник, а решта — трикутники, які мають спільну вершину. Такий многогранник називають пірамідою. Спільну вершину трикутників називають вершиною піраміди. Грань, яка не містить вершину піраміди, називають основою піраміди, решту граней — бічними гранями піраміди.
Ребра, які належать основі, називають ребрами основи піраміди, решту ребер — бічними ребрами піраміди.
На рисунку 26.7 зображено трикутну піраміду SABC і чотирикутну піраміду SABCD.
Площа поверхні піраміди — це сума площ усіх її граней. Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи, називають висотою піраміди. На рисунку 26.7 відрізок SO — висота піраміди.
Об’єм V піраміди обчислюють за формулою
де Sосн — площа основи піраміди, h — довжина висоти піраміди. Цю формулу буде доведено в курсі стереометрії.
Зв’язок між окремими видами многогранників ілюструє схема, зображена на рисунку 26.8.
1. З яких фігур складається поверхня многогранника?
2. Назвіть елементи многогранника.
3. Якою геометричною фігурою є бічна грань призми?
4. Яким є взаємне розміщення бічних ребер призми?
5. Якою геометричною фігурою є бічна грань прямої призми?
6. Що таке площа бічної поверхні призми?
7. Що таке площа поверхні призми?
8. Сформулюйте властивості об’єму фігури.
9. За якою формулою обчислюють об’єм прямої призми?
10. Поясніть, який многогранник називають пірамідою.
11. Назвіть елементи піраміди.
12. Що таке площа поверхні піраміди?
13. Що називають висотою піраміди?
14. За якою формулою обчислюють об’єм піраміди?
26.1. На рисунку 26.9 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1. Укажіть:
2) бічні грані паралелепіпеда;
3) бічні ребра паралелепіпеда;
4) ребра, які паралельні ребру AB;
5) ребра, які паралельні ребру BB1;
6) ребра, які мимобіжні з ребром BC.
26.2. На рисунку 26.10 зображено пряму призму ABCA1B1C1. Укажіть:
1) основи призми; 4) ребра основи призми;
2) бічні грані призми; 5) усі пари паралельних ребер призми.
26.3. На рисунку 26.11 зображено піраміду MABC. Укажіть:
26.4. На рисунку 26.12 зображено піраміду SABCD. Укажіть:
26.5. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм прямої трикутної призми, основою якої є правильний трикутник зі стороною 6 см, а бічне ребро дорівнює 4 см.
26.6. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм прямої чотирикутної призми, основою якої є квадрат зі стороною 7 см, а бічне ребро дорівнює 6 см.
26.7. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм прямої призми, зображеної на рисунку 26.13 (довжини відрізків дано в сантиметрах).
26.8. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм прямої призми, зображеної на рисунку 26.14 (довжини відрізків дано в сантиметрах).
26.9. Обчисліть об’єм піраміди MABC (рис. 26.15), основа якої — трикутник ABC, BC = 4,8 см, відрізок AK — висота трикутника ABC, AK = 3,5 см, відрізок MO — висота піраміди, MO = 4,5 см.
26.10. Обчисліть об’єм піраміди MABCD (рис. 26.16), основа якої — квадрат ABCD зі стороною 6 см, відрізок ME — висота піраміди, ME = 7,2 см.
26.11. Обчисліть об’єм піраміди AMNKP (рис. 26.17), основа якої — прямокутник MNKP, MN = 1,2 см, NK = 2,6 см, відрізок AD — висота піраміди, AD = 2,5 см.
26.12. Основа прямої призми — прямокутний трикутник, один із катетів якого дорівнює 15 см, а гіпотенуза — 25 см. Знайдіть площу поверхні та об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 9 см.
26.13. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція з основами 4 см і 16 см та діагоналлю 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні, площу поверхні та об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 17 см.
26.14. Класна кімната має форму прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 8,5 м, 6 м і 3,6 м. Чи можна у цій кімнаті розмістити на урок 30 учнів, якщо відповідно до санітарних норм на одного учня має припадати 6 м 3 повітря?
26.15. Поперечний переріз чавунної труби має форму квадрата. Зовнішня ширина труби дорівнює 30 см, а товщина стінок — 5 см. Знайдіть масу погонного метра труби, якщо густина чавуну становить 7,3 ∙ 10 3 кг/м 3 .
26.16. Поперечний переріз канави має форму рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 1 м і 0,8 м, а висота — 0,6 м. Скільки потрібно робітників, щоб за 4 год викопати таку канаву завдовжки 15 м, якщо за годину один робітник викопує 0,75 м 3 ґрунту?
26.17. Відливок міді завдовжки 50 см має форму прямої призми, основою якої є рівнобічна трапеція, паралельні сторони якої дорівнюють 6 см і 14 см, а бічна сторона — 8,5 см. Установіть, чи є всередині відливка порожнини чи він є суцільним, якщо маса відливка дорівнює 32 кг, а густина міді — 9,0 ∙ 10 3 кг/м 3 .
26.18. Основою піраміди є прямокутний трикутник із катетами 6 см і 8 см, висота піраміди дорівнює 12 см. Знайдіть об’єм піраміди.
26.19. Основою піраміди є ромб, сторона якого дорівнює 10 см, а одна з діагоналей — 16 см. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 11 см.
26.20. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 17 см, 17 см і 16 см. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює 20 см.
26.21. Знайдіть об’єм прямої призми ABCA1B1C1, якщо A1B = d, ∠ABA1 = , AB = AC, ∠BAC = a.
26.22. Основою прямої призми ABCDA1B1C1D1 є ромб, AB = a, ∠BAD = a, ∠ACA1 = . Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм призми.
Тест – Многогранники. Призма. Паралелепіпед – НМТ 2024
Це безкоштовний онлайн-тест від Mathema на тему “Многогранники. Призма. Паралелепіпед”. З його допомогою учні можуть перевірити та закріпити свої знання перед НМТ з математики. Максимальна кількість балів, які може набрати учень на тесті “Многогранники. Призма. Паралелепіпед” — 26.
- 1 бал за кожну правильну відповідь у завданнях 1-6
- 1 бал за кожну правильно підібрану відповідність у завданнях 7-8
- 2 бали за кожну правильну відповідь у завданнях 9-14.
Матеріали Mathema, які допоможуть підготуватися до НМТ з математики
Якщо вам сподобався цей тест, зверніть увагу на інші матеріали, які ми створили для підготовки до НМТ:
Також у нас на сайті ви можете знайти репетитора з математики, який допоможе підготуватися до НМТ.