Урок 1. Відношення чисел, величин та його властивості. Приклади і задачі

Bankchart.com.ua розказує, що таке відношення двох чисел, як знайти відношення величин, як спростити відношення, яка основна властивість співвідношення, які відношення називають взаємно-оберненими. На цьому уроці з математики ми розглянемо приклади, розв’яжемо задачі на співвідношення.

Путівник за статтею

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Що таке відношення? Як знайти відношення двох чисел

В математиці та й в повсякденному житті часто проиходиться розв’язвати задачі на порівняння 2 величин. Частіше за все треба знаходити, у скільки раз одна величина більша або менша за другу. Виконуючи ділення двох чисел ми знаходимо частку або відношення чисел. Наприклад, якщо ми поділимо 21 на 3, в частці отримаємо 7. Іншими словами можна сказати, що відношення числа 21 до числа 3 дорівнює 7. Таке відношення записують двома способами: 21 :3 або 21/3.

Співвідношення або відношення – це число, що показує у скільки разів одна величина більша за другу або яку частину одна величина становить від другої.

Для запису співвідношення використовують знак ділення або дробову риску. Запишемо співідношення чисел у загальному вигляді:

Відповідно числа a і b прийнято називати членами співідношення, a – попередній член, b – наступний.

Основна властивість відношення

Якщо кожен член відношення помножити або поділити на одне і те саме число, яке не дорівнює нулю, то відношення не зміниться.

Для того щоб знайти співідношення двох величини, треба їх подати в однакових одиницях виміру.

Приклад. Обчислити співвідношення таких величин: 73 см і 2,92 м.

В цьому прикладі ми, в першу чергу, звели величини до однієї одиниці вимірювання, тобто в сантиметри. Для зручності конвертації рекомендуємо користуватись нашими калькуляторами:

• конвертер довжини
• конвертер ваги
• конвертер площі
• конвертер обсягу
• конвертер швидкості
• конвертер часу
• конвертер тиску
• конвертер температури
• конвертер енергії
• конвертер сили
• конвертер щільності
• конвертер потужності
• конвертер кутової міри

Скорочення членів відношення і заміна відношення дробових чисел відношенням цілих чисел

Основна властивість відношення дозволяє нам виконувати такі дві важливі дії:

1. Скорочувати члени відношення
2. Замінювати співвідношення дробів співвідношенням цілих чисел

Розглянемо кожну таку дію на окремому прикладі.

Приклад. Скоротити члени співвідношення 72 : 54

В даному прикладі ми скоротили кожен член відношення на 18, тому отримали нове співвідношення 4 : 3

Приклад. Виконати заміну дробових і мішаних чисел на співвідношення цілих чисел:

В цьому прикладі ми спочатку перетворили мішане число у неправильний дріб, звели до спільного знаменника і після цього помножили кожний член співвідношення на спільний знаменник.

Взаємно-обернені відношення: приклади

Розглядаючи відношення, варто виокремити групу обернених відношень.

Два відношення називають взаємно оберненими, якщо попередній член першого відношення дорівнює наступному члену другого відношення і навпаки – наступний член першого відношення дорівнює попередньому члену другого відношення. Добуток взаємно-обернених співвідношень дорівнює одиниці.

Приклади взаємно-обернених відношень:

Як знайти відношення величин: задачі

Крім відношення чисел виокремлюють таку важливу категорію як відношення величин.

Відношення однорідних величин дорівнює відношенню чисел, що отримують при вимірі цих величин однією і тією самою одиницею; воно не залежить від вибору одиниці виміру.

Яскравим прикладом відношення різних величин є швидкість, яка дорівнює співвідношенню відстані і часу.

Задача. Оля пройшла 40 метрів за 10 секунд. Знайти співвідношення пройденого шляху і часу.

Розв’язання:

Співвідношення складе 40 метрів : 10 секунд = 4 м/с, що і буде швидкістю. Крім того, ми можемо перевести величини у км і год і визначити швидкість (співвідношення) у км/год.

40 м = 0,04 км, 10 с = 1/360 год

Відповідно 4 м/с = 4,4 км/год

Задача. Знайти співвідношення величин 1,5 км і 500 м

Розв’язання:

Спочатку приведемо величини до однієї одиниці виміру: 1,5 км = 1500 м (адже 1 км = 1000 м, 1,5 ⋅ 1000 = 1500)

Співвдіношення величин: 1500 : 500 = 3 : 1

Відповідь: 1,5 км : 500 м = 3 м : 1 м або 1,5 км співвідноситься до 500 м, як 3 до 1

Задача. Знайти співвідношення величин 400 г і 1,6 кг

Розв’язання:

Переведемо 1,6 кг в грами: 1,6 кг = 1600 г (адже 1 кг = 1000 г)

Відповідь: співвідношення 400 г і 1,6 кг дорівнює 1 : 4

Задача. Мама купила цукерки і фрукти у співвідношенні 2 : 5. Виберіть число, яким може бути виражена кількість цукерок і фруктів: 32, 28, 41,15

Розв’язання:

Позначимо кількість цукерок 2х, фруктів – 5х.

Тобто кількість цукерків і фруктів повинна бути кратною числу 7 (про кратні числа читайте тут)

Зі всіх чисел підходить 28, адже воно кратне 7.

Задача. Роман проїхав 100 км за 2 год на скутері. Яку відстань проїхав Володимир, якщо відомо що він їхав на автомобілі зі швидкістю в 4 рази більшою.

Розв’язання:

Цю задачу можна розв’язати 2 способами. Розглянемо детальніше кожен із них:

Знайдемо швидкість Романа:

100 : 2 = 50 км/год – швидкість Романа

Знайдемо швидкість Володимира:

50 ⋅ 4 = 200 км/год – швидкість авто Володимира

Знайдемо відстань, яку проїхав Володимир, знаючи час і швидкість:

200 ⋅ 2 = 400 км. – проїхав Володимир

Якщо швидкість авто Володимира в 4 рази більша за швидкість велосипеда Романа, то за однаковий час він проїде в 4 рази більшу відстань:

100 ⋅ 4 = 400 км – проїхав Володимир

Відповідь: Володимир проїхав 400 км.

Задача. Олена купила путівку на море за 50 тис. грн., яка включає вартість проживання і проїзду. Відомо, що за проїзд дівчина заплатила 5 тис. грн. Яку частину від вартості путівки складає вартість проживання?

Розв’язання:

Для того, щоб знайти, яку частину складає вартість проживання, треба вартість проживання поділити на вартість путівки. Оскільки вартість путівки відома, знайдемо вартість проживання, віднявши від загальної вартості відому вартість проїзду:

50 – 5 = 45 тис. грн. – вартість проживання

Співвідношення вартості проживання до вартості путівки:

Відповідь: проживання складає 0,9 частини від загальної вартості путівки.

Що таке степені в математиці?

Якщо потрiбно виразити добуток, що складається з повторюваних множникiв, краще використовувати степенi ( a n ). Якщо спробувати обчислити цей добуток, часто можна отримати дуже велике або дуже мале число. Використання степенiв дає змогу уникнути розрахункiв iз надто великими чи малими числами. Коротко кажучи, ми використовуємо степенi для множення i розрахункiв iз дуже великими або дуже малими числами. Але що таке степенi?

Основа — це число, яке потрiбно помножити саме на себе. Показник степеня показує, скiльки разiв потрiбно помножити основу саму на себе. Я уявляю це так, що основа знаходиться на першому поверсi, а показник – на горищi. Коротко, степiнь — це вираз, який складається з основи та показника. Розгляньмо докладнiше, що це означає:

Степенi

a — це основа, а n — це показник.

Згiдно з формулою, 3 — це основа, а 4 — показник. Показник вказує, що 3 потрiбно помножити саме на себе 4 рази:

Що означає 2 7 ? З формули бачимо, що 2 — це основа, а показником є число 7 . Це означає, що 2 потрiбно помножити саме на себе 7 разiв, тобто

Багатий iндiйський король якось зажадав, щоб його пiдданi показали йому свої винаходи. Одного дня Сiсса iбн Дахiр представив на суд короля гру, що складалася з дошки на 8 на 8 клiтинок (усього 6 4 ) та фiгур, якi мали зображати придворних.

Королю так сподобалася гра, що вiн запропонував Сiссi самому вибрати собi нагороду. Сiсса попросив за першу клiтинку заплатити йому 1 рисове зернятко, за другу клiтинку — 2 зернятка, за третю клiтинку — 4 зернятка i так далi аж до останньої клiтинки на дошцi. Тобто з кожною наступною клiтинкою кiлькiсть рисових зерняток мала подвоюватися. Королевi це бажання здалося дуже скромним, i без зайвих роздумiв вiн погодився. Але чи справдi виграв вiд цiєї угоди король? Скiльки рисових зерняток мав отримати Сiсса за 8-му клiтинку, а скiльки — за 64-ту?

За першу клiтинку винахiдник отримав 1 рисове зернятко. За другу клiтинку вiн отримав уже 2 зернятка. За третю клiтинку — 2 ⋅ 2 = 2 2 = 4 рисових зернятка. Клiтинка номер чотири дала вже 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 3 = 8 зернятка. Як бачимо з цiєї схеми, показник для кожної клiтинки на одиницю менший за номер клiтинки. Отже, за клiтинку номер вiсiм Сiсса мав отримати 2 7 = 1 2 8 рисових зерняток. Щоб з’ясувати, скiльки зерняток вiн отримав би з клiтинки номер шiстдесят чотири, потрiбно обчислити 2 6 3 . Це те саме, що помножити 2 саме на себе 6 3 рази:

тобто близько 9 квiнтильйонiв рисових зерняток!