Чотирикутна призма: формула та об’єм, характеристики

A Квадратна призма Це така, поверхня якої утворена двома рівними основами, які є чотирикутниками, та чотирма бічними гранями, які є паралелограмами. Їх можна класифікувати за кутом нахилу, а також за формою основи.

Призма – це неправильне геометричне тіло, що має плоскі грані, і вони охоплюють кінцевий об’єм, який базується на двох багатокутниках і бічних гранях, які є паралелограмами. Залежно від кількості сторін багатокутників основ призми можуть бути: трикутними, чотирикутними, п’ятикутними та ін.

Характеристики Скільки граней, вершин і ребер воно має?

Призма з чотирикутною основою – це багатогранна фігура, яка має дві рівні та паралельні основи, та чотири прямокутники, які є бічними гранями, що з’єднують відповідні сторони двох основ.

Чотирикутну призму можна відрізнити від інших типів призм, оскільки вона має такі елементи:

Основи (B)

Це два багатокутники, утворені чотирма сторонами (чотирикутником), які є рівними та паралельними.

Обличчя (C)

Загалом цей тип призми має шість граней:

• Чотири бічні грані, утворені прямокутниками.
• Дві грані, які є чотирикутниками, що утворюють основи.

Вершини (V)

Це ті точки, де три грані призми збігаються, у цьому випадку загалом є 8 вершин.

Краї: (A)

Це сегменти, де стикаються дві грані призми, і це:

• Базові ребра: це лінія з’єднання між бічною поверхнею та основою, їх загалом 8.
• Бічні краї: це бічна лінія з’єднання між двома гранями, загалом їх 4.

Кількість ребер багатогранника також можна обчислити, використовуючи теорему Ейлера, якщо відомо число вершин і граней; таким чином для чотирикутної призми вона обчислюється наступним чином:

Кількість країв = Кількість граней + кількість вершин – 2.

Висота (год)

Висота чотирикутної призми вимірюється як відстань між двома її основами.

Класифікація

Чотирикутні призми можна класифікувати за кутом нахилу, який може бути прямим або косим:

Праві чотирикутні призми

Вони мають дві рівні і паралельні грані, які є основами призми, їх бічні грані утворені квадратами або прямокутниками, таким чином їх бічні ребра всі рівні, а їх довжина дорівнюватиме висоті призми.

Загальна площа визначається площею та периметром її основи, висотою призми:

Похилі чотирикутні призми

Цей тип призми характеризується тим, що її бічні грані утворюють косі двогранні кути з основами, тобто її бічні грані не перпендикулярні до основи, оскільки вони мають ступінь нахилу, який може бути меншим або більшим за 90 або .

Їх бічні грані, як правило, паралелограми з ромбоподібною або ромбоподібною формою, і вони можуть мати одну або кілька прямокутних граней. Іншою характеристикою цих призм є те, що їх висота відрізняється від вимірювання їх бічних країв.

Площа косої чотирикутної призми обчислюється майже так само, як і попередніх, додаючи площу основ з бічною площею; різниця лише в тому, як обчислюється його бічна площа.

Площа бічних боків обчислюється з бічним краєм і периметром прямої ділянки призми, саме там, де утворюється кут 90 або з кожною зі сторін.

Об’єм усіх типів призм обчислюється множенням площі основи на висоту:

Таким же чином чотирикутні призми можна класифікувати за типом чотирикутника, який утворюють основи (правильний і неправильний):

Правильна чотирикутна призма

Він має два квадрати в якості основи, а бічні грані – рівні прямокутники. Його вісь є ідеальною лінією, яка проходить паралельно її граням і закінчується в центрі двох основ.

Для визначення загальної площі чотирикутної призми необхідно обчислити площу її основи та бічну площу, щоб:

Бічна площа відповідає площі прямокутника; тобто:

Площа основи відповідає площі квадрата:

ДО _база = 2 (бічний _* Збоку) = 2л 2

Щоб визначити гучність, помножте площу основи на висоту:

Неправильна чотирикутна призма

Цей тип призми характеризується тим, що її основи не квадратні; вони можуть мати основи, що складаються з нерівних сторін, і представлено п’ять випадків, де:

до. Основи прямокутні

Його поверхня утворена двома прямокутними основами та чотирма бічними гранями, які також є прямокутниками, усі рівні та паралельні.

Щоб визначити його загальну площу, обчислюється кожна площа шести прямокутників, що її утворюють, двох основ, двох малих бічних граней і двох великих бічних граней:

b. Основою є ромби:

Його поверхня утворена двома ромбоподібними основами та чотирма прямокутниками, які є бічними гранями, для обчислення її загальної площі її слід визначити:

• Площа основи (ромб) = (велика діагональ _* мала діагональ) ÷ 2.
• Бічна площа = периметр основи _* висота = 4 (сторони основи) * h

Таким чином, загальна площа становить: A_Т = A_{стороні} + 2А_база.

c. Основи ромбоподібні

Його поверхня утворена двома основами у формі ромбоподібної форми, а чотирма прямокутниками, які є бічними гранями, її загальна площа задається:

• Площа основи (ромбовидна) = основа _* відносна висота = B * h.
• Бічна площа = периметр основи _* висота = 2 (сторона a + сторона b) _* h
• Отже, загальна площа: A_Т = A_{стороні} + 2А_база.

d. Основи – трапеції

Його поверхня утворена двома основами у формі трапецій, а чотирма прямокутниками, які є бічними гранями, її загальна площа задається:

• Площа основи (трапеція) = h _* [(сторона a + сторона b) ÷ (2)].
• Бічна площа = периметр основи _* висота = (a + b + c + d) * h
• Отже, загальна площа: A_Т = A_{стороні} + 2А_база.

і. Основи – трапеції

Його поверхня утворена двома трапецієподібними основами, а чотирма прямокутниками, які є бічними гранями, загальна площа якої визначається:

• Площа основи (трапеція) = = (діагональ_{1 *} діагональ₂) ÷ 2.
• Бічна площа = периметр основи _* висота = 2 (сторона a _* сторона b * h.
• Отже, загальна площа: A_Т = A_{стороні} + 2А_база.

Підводячи підсумок, для визначення площі будь-якої регулярної чотирикутної призми необхідно лише розрахувати площу чотирикутника, що є основою, його периметр та висоту, яку матиме призма, загалом її формула мала б вигляд:

Для розрахунку обсягу для цих типів призм використовується та сама формула, яка має вигляд:

Список літератури

1. Ангел Руїс, Х. Б. (2006). Геометрії. Технологія CR ,.
2. Даніель С. Олександр, Г. М. (2014). Елементарна геометрія для студентів коледжів. Навчання Cengage.
3. Магіня, Р. М. (2011). Геометрія фону. Ліма: Доуніверситетський центр UNMSM.
4. Ортіс Франциско, О. Ф. (2017). Математика 2.
5. Перес, А. Á. (1998). Енциклопедія Альвареса другого ступеня.
6. П’ю, А. (1976). Багатогранники: візуальний підхід. Каліфорнія: Берклі.
7. Родрігес, Ф. Дж. (2012). Описова геометрія Том І. Двогранна система. Доностиярра Са.

Чотирикутна призма: висота, діагональ, площа

У шкільному курсі стереометрії однією з найпростіших фігур, яка має не нульові розміри вздовж трьох просторових осей, є чотирикутна призма. Розгляньмо в статті, що це за фігура, з яких елементів вона складається, а також як можна розрахувати площу її поверхні і об ‘єм.

Поняття про призму

У геометрії призмою вважають просторову фігуру, яка утворена двома однаковими підставами і бічними поверхнями, які з ‘єднують сторони цих підстав. Зазначимо, що обидві підстави переходять одна в одну за допомогою операції паралельного перенесення на деякий вектор. Таке завдання призми призводить до того, що всі її бокові сторони завжди є паралелограмами.

Кількість сторін підстави може бути довільною, починаючи від трьох. При прагненні цього числа до нескінченності, призма плавно переходить в циліндр, оскільки її основа стає колом, а бічні паралелограми, з ‘єднуючись, утворюють циліндричну поверхню.

Як і будь-який поліедр, призма характеризується сторонами (площини, які обмежують фігуру), ребрами (відрізки, за якими перетинаються дві будь-які сторони) і вершинами (точки зустрічі трьох сторін, для призми дві з них є бічними, а третя – підставою). Кількість названих трьох елементів фігури пов ‘язана між собою наступним виразом:

Тут Р, С і В – це число ребер, сторін і вершин, відповідно. Цей вислів є математичним записом теореми Ейлера.

Вище наведено малюнок, де показано дві призми. В основі однієї з них (A) лежить правильний шестикутник, і сторони бічні перпендикулярни підставам. Малюнок B демонструє іншу призму. Її бічні сторони вже не перпендикулярні підставам, а підстава являє собою правильний п ‘ятикутник.

Що таке призма чотирикутна?

Як зрозуміло з опису вище, тип призми в першу чергу визначається видом багатокутника, який утворює основу (обидві підстави однакові, тому мова можна вести про один з них). Якщо цим багатокутником є паралелограм, то ми отримуємо чотирикутну призму. Таким чином, всі сторони цього виду призми є паралелограмами. Чотирикутна призма має власну назву – паралелепіпед.

Кількість сторін паралелепіпеда дорівнює шести, причому кожна сторона має аналогічну паралельну їй. Оскільки підстави паралелепіпеда – це дві сторони, то решта чотири є бічними.

Кількість вершин паралелепіпеда дорівнює восьми, у чому легко переконатися, якщо згадати, що вершини призми утворюються тільки на вершинах базових багатокутників (4х2 = 8). Застосовуючи теорему Ейлера, отримуємо число ребер:

З 12-ти ребер, тільки 4 утворені самостійно бічними сторонами. Решта 8 лежать у площинах підстав фігури.

Далі в статті йтиметься тільки про чотирикутні призми.

Види паралелепіпедів

Перший тип класифікації полягає в особливості паралелограма, що лежить у підставі. Він може бути наступного виду:

• звичайний, у якого кути не рівні 90o;
• прямокутник;
• квадрат – правильний чотирикутник.

Другий тип класифікації полягає у вугіллі, при якому бокова сторона перетинає основу. Тут можливо два різних випадки:

• цей кут не є прямим, тоді призму називають косокутною або похилою;
• кут дорівнює 90o, тоді така призма є прямокутною або просто прямою.

Третій тип класифікації пов ‘язаний з висотою призми. Якщо призма є прямокутною, і в основі лежить або квадрат, або прямокутник, тоді її називають прямокутним паралелепіпедом. Якщо ж у підставі знаходиться квадрат, призма є прямокутною, а її висота дорівнює довжині сторони квадрата, то ми отримуємо всім відому фігуру куб.

Поверхня призми та її площа

Сукупність всіх точок, які лежать на двох підставах призми (паралелограмах) і на її бічних сторонах (чотири паралелограми), утворюють поверхню фігури. Площа цієї поверхні може бути обчислена, якщо розрахувати площу основи і цю величину для бічної поверхні. Тоді їх сума дасть шукане значення. Математично це записується так:

Тут So і Sb – площа основи і бічної поверхні, відповідно. Цифра 2 перед So з ‘являється на увазі того, що підстав дві.

Зазначимо, що записана формула справедлива для будь-якої призми, а не тільки для площі чотирикутної призми.

Корисно нагадати, що площа паралелограма Sp обчислюється за формулою:

Де символи a і h позначають довжину однієї з його сторін і висоту, проведену до цієї сторони, відповідно.

Площа прямокутної призми з квадратною основою

У правильній чотирикутній призмі підстава являє собою квадрат. Позначимо для визначеності його сторону буквою a. Щоб розрахувати площу правильної чотирикутної призми, слід знати її висоту. Згідно з визначенням для цієї величини, вона дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з однієї підстави на іншу, тобто дорівнює відстані між ними. Позначимо її буквою h. Оскільки всі бічні грані перпендикулярні підставам для розглянутого типу призми, то висота правильної чотирикутної призми дорівнюватиме довжині її бокового ребра.

У загальній формулі для площі поверхні призми стоїть два доданки. Площа основи в даному випадку розрахувати просто, вона дорівнює:

Щоб обчислити площу бічної поверхні, розмірковуємо наступним чином: ця поверхня утворена 4-ма однаковими прямокутниками. Причому сторони кожного з них рівні a і h. Це означає, що площа Sb буде рівна:

Зауважимо, що твір 4 * a – це периметр квадратної основи. Якщо узагальнити цей вираз на випадок довільної підстави, тоді для прямокутної призми бічну поверхню можна розрахувати так:

Повертаючись до завдання розрахунку площі правильної чотирикутної призми, можна записати підсумкову формулу:

S = 2*So + Sb = 2*a2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Площа косокутного паралелепіпеда

Обчислити її трохи складніше, ніж для прямокутного. У цьому випадку площа основи чотирикутної призми обчислюється за тією ж формулою, що і для паралелограма. Зміни стосуються способу визначення площі бічної поверхні.

Для цього використовується та ж формула через периметр, що наведена в пункті вище. Тільки тепер у ній з ‘являться дещо інші множники. Загальна формула для Sb у разі косокутної призми має вигляд:

Тут з – це довжина бічного ребра фігури. Величина Psr є периметром прямокутного зрізу. Будується це середовище наступним чином: необхідно площиною перетнути всі бічні грані таким чином, щоб вона була перпендикулярна всім ім. утворений прямокутник і буде шуканим зрізом.

На малюнку вище наведено приклад косокутного паралелепіпеда. Заштрихований його переріз з бічними сторонами утворює прямі кути. Периметр перерізу дорівнює Psr. Він утворений чотирма висотами бічних паралелограмів. Для цієї чотирикутної призми площа бічної поверхні розраховується за вказаною вище формулою.

Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда

Діагональ паралелепіпеда – це відрізок, який з ‘єднує дві вершини, що не мають спільних сторін, які їх утворюють. У будь-якій чотирикутній призмі діагоналей всього чотири. Для прямокутного паралелепіпеда, в основі якого розташований прямокутник, довжини всіх діагоналей дорівнюють один одному.

Нижче на малюнку наведено відповідну фігуру. Червоний відрізок є її діагоналлю.

Розрахувати її довжину дуже просто, якщо згадати про теорему Піфагора. Кожен школяр може отримати шукану формулу. Вона має наступну форму:

Тут D – довжина діагоналі. Решта символів – це довжини сторін паралелепіпеда.

Багато хто плутає діагональ паралелепіпеда з діагоналями його сторін. Нижче наводиться малюнок, де кольоровими відрізками зображені діагоналі сторін фігури.

Довжина кожної з них також визначається за теоремою Піфагора і дорівнює квадратному кореню з суми квадратів відповідних довжин сторін.

Обсяг призми

Крім площі правильної чотирикутної призми або інших видів призм, для вирішення деяких геометричних завдань слід знати і їх обсяг. Ця величина для абсолютно будь-якої призми обчислюється за такою формулою:

Якщо призма є прямокутною, тоді достатньо обчислити площу її основи і помножити її на довжину ребра бокової сторони, щоб отримати обсяг фігури.

Якщо призма є правильною чотирикутною, тоді її обсяг дорівнюватиме:

Легко бачити, що ця формула перетворюється на вираз для обсягу куба, якщо довжина бічного ребра h дорівнює стороні основи a.

Завдання з прямокутним паралелепіпедом

Для закріплення вивченого матеріалу вирішимо наступне завдання: є прямокутний паралелепіпед, сторони якого дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см. Необхідно розрахувати площу його поверхні, довжину діагоналі і об ‘єм.

Для визначеності будемо вважати, що підставою фігури є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см. Тоді його площа дорівнює 12 см2, а період становить 14 см. Використовуючи формулу для площі поверхні призми, отримуємо:

S = 2*So + Sb = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 см2

Для визначення довжини діагоналі та об ‘єму фігури можна безпосередньо скористатися наведеними вище виразами:

Завдання з косокутним паралелепіпедом

Нижче на малюнку зображена косокутна призма. Її сторони рівні: a = 10 см, b = 8 см, з = 12 см. Необхідно знайти площу поверхні цієї фігури.

Спочатку визначимо площу основи. З малюнка видно, що гострий кут дорівнює 50o. Тоді його площа дорівнює:

Для визначення площі бічної поверхні, слід знайти периметр заштрихованого прямокутника. Сторони цього прямокутника дорівнюють a * sin (45o) і b * sin (60o). Тоді периметр цього прямокутника дорівнює:

Повна площа поверхні цього паралелепіпеда дорівнює:

S = 2*So + Sb = 2*(sin(50o)*b*a + a*c*sin(45o) + b*c*sin(60o))

Підставляємо дані з умови завдання для довжин сторін фігури, отримуємо відповідь:

З вирішення цього завдання видно, що для визначення площ косокутних фігур використовуються тригонометричні функції.